高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题与量词 1.1.2 量词课后导练 新人教b版选修2-1

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1、1.1.2量词课后导练基础达标1.下列存在性命题中假命题的个数是()①有的实数是无限不循环小数②有些三角形不是等腰三角形③有的菱形是正方形A.0B.1C.2D.3答案：A2.下列存在性命题中真命题的个数是（）①x∈R,x≤0②至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数③x∈{x

2、x是无理数},x2是无理数A.0B.1C.2D.3答案：D3.下列全称命题中假命题的个数是（）①2x+1是整数(x∈R)②对所有的x∈R,x＞3③对任意一个x∈Z,2x2+1为奇数A.0B.1C.2D.3答案：C4.下列命题为存在性命题的是（）A.偶函数的图象关于y轴对称B.正四棱柱都是平行六面体C.不相交的两条

3、直线是平行直线D.存在实数大于等于3答案：D5.下列命题正确的是()A.对于实数q<1,方程x2+2x+q=0有实数根B.有一个实数大于0或小于0C.不存在一个实数其相反数是它本身D.四边形的两条对角线互相垂直，则四边形为正方形答案：A6.（1）命题“x∈R，x2-x+3>0”的否定是________________.（2）命题“x∈R，x2+1<0”的否定是________________.答案：(1)x∈R,x2-x+3≤0(2)x∈R,x2+1≥07.命题“有理数的平方仍是有理数”用符号“”写成全称命题为________________.答案：x∈{有理数}，x2∈{有理数}8.

4、(预测题)下列叙述正确的命题序号是________________.①x,y∈N,如果+y2=0,则x=0且y=0②设P(x):2x>x2,则P(4)是真命题③“每一个向量都有方向”是命题④若P(x):sinx>cosx为真命题，则x∈(,)答案：①③9.用符号“”与“”表示下面含有量词的命题.(1)实数的平方大于等于0;(2)存在一对实数,使2x+3y+3＜0成立;(3)勾股定理.解：（1）x∈R,x2≥0.(2)(x,y),x∈R,y∈R,2x+3y+3＜0.(3)a、b、c为直角三角形的三条边，c为斜边，a2+b2=c2.10.命题“三角形的三个内角中，至少有一个角不小于60°”

5、是全称命题吗？若是，判断它的真假.解析:是全称命题，且为真命题，可用反证法证明：在△ABC中，假设三角内角均小于60°，则∠A+∠B+∠C＜180°，这与内角和定理矛盾.综合运用11.命题“存在实数k<0，使方程x2+(2k+1)x+k=0必有两相异实根”是存在性命题吗？若是，判断其真假.解析：是存在性命题，且是真命题，因为任意实数k，Δ=（2k+1）2-4k=4k2+1＞0恒成立，方程恒有两根，且k＜0时，两根之积为负，所以必有两相异实根.12.已知f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1,0),是否存在常数a、b、c,使不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立?解:∵f(x)的图象

6、过点（-1，0），∴a-b+c=0.∵x≤f(x)≤对一切x∈R均成立，∴当x=1时也成立，即1≤a+b+c≤1,故有a+b+c=1.∴b=,c=-a.∴f(x)=ax2+x+-a.故应x≤ax2+x+-a≤对一切x∈R成立.即恒成立∴a=.∴c=-a=.∴存在一组常数：a=,b=,c=.使不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立.13.在R上定义运算:xy=x(1-y),若不等式(x-a)(x+a)<1对x∈R成立.求a的取值范围？解析：（x-a）(x+a)＜1(x-a)［1-(x+a)］＜1-x2+x+a2-a-1＜0x2-x-a2+a+1＞0.∵不等式对任意实数x成立，∴Δ=

7、1-4（-a2+a+1）＜0,∴-＜a＜.拓展探究14.已知ａ>0,函数ｆ(x)=ａx-bx2.(1)当b>0时,若对任意x∈R都有ｆ(x)≤1,证明ａ≤2；(2)当b>1时,证明对任意x∈［0,1］,

8、ｆ(x)

9、≤1的充要条件是b-1≤ａ≤2.证明：（1）依题意设对任意x∈R都有f(x)≤1,∵f(x)=-b(x-)2+,∴f()=≤1.∵a＞0,b＞0,∴a≤2.(2)必要性：对任意x∈［0,1］.

10、f(x)

11、≤1f(x)≥-1,∴f(1)≥-1,即a-b≥-1.∴a≥b-1.对任意x∈［0,1］,

12、f(x)

13、≤1f(x)≤1,∵b＞1.可以推出f()≤1,即a·-1≤1.∴a≤2

14、.∴b-1≤a≤2.充分性：∵b＞1,a≥b-1,对任意x∈［0,1］,可以推出ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x≥-1,即ax-bx2≥-1,∵b＞1,a≤2,对任意x∈［0，1］，可以推出ax-bx2≤2x-bx2≤1,即ax-bx2≤1.∴-1≤f(x)≤1.综上，当b＞1时，对任意x∈［0,1］,

15、f(x)

16、≤1的充要条件是b-1≤a≤2.