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1、§1.5极限运算法则课题：§1.5极限运算法则教学内容：极限运算法则教学目的：通过学习，使学生会应用极限运算法则进行计算教学重点：应用极限运算法则进行计算教学难点：应用极限运算法则（除法）进行计算教学过程：注意无穷小性质与无穷大性质的比较对比，极限运算法则成立的条件。定理1有限个无穷小的和也是无穷小.例如,当x®0时,x与sinx都是无穷小,x+sinx也是无穷小.简要证明:设a及b是当x®x0时的两个无穷小,则"e>0,$d1>0及d2>0,使当0<
2、x-x0
3、4、a
5、6、x-x0
7、8、2时,有
9、b
10、11、x-x0
12、13、a+b
14、£
15、a
16、+
17、b
18、<2e.这说明a+b也是无穷小.证明:考虑两个无穷小的和.设a及b是当x®x0时的两个无穷小,而g=a+b.任意给定的e>0.因为a是当x®x0时的无穷小,对于>0存在着d1>0,当0<
19、x-x0
20、21、a
22、<成立.因为b是当x®x0时的无穷小,对于>0存在着d2>0,当0<
23、x-x0
24、25、b
26、<成立.取d=min{d1,d2},则当0<
27、x-x0
28、29、a
30、<及
31、b
32、<同时成
33、立,从而
34、g
35、=
36、a+b
37、£
38、a
39、+
40、b
41、<+=e.这就证时了g也是当x®x0时的无穷小.定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.简要证明:设函数u在x0的某一去心邻域{x
42、0<
43、x-x0
44、0,使当0<
45、x-x0
46、47、u
48、£M.又设a是当x®x0时的无穷小,即"e>0.存在d2>0,使当0<
49、x-x0
50、51、a
52、53、x-x0
54、55、u×a
56、57、所以arctanx也是无穷小.思考：有界函数与无穷大的乘积仍是无穷大吗？推论1常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小.定理3如果limf(x)=A,limg(x)=B,那么(1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B;(2)limf(x)×g(x)=limf(x)×limg(x)=A×B;(3)(B¹0).证明(1):因为limf(x)=A,limg(x)=B,根据极限与无穷小的关系,有f(x)=A+a,g(x)=B+b,其中a及b为无穷小.于是f(x)±
58、g(x)=(A+a)±(B+b)=(A±B)+(a±b),即f(x)±g(x)可表示为常数(A±B)与无穷小(a±b)之和.因此lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B.推论1如果limf(x)存在,而c为常数,则lim[cf(x)]=climf(x).推论2如果limf(x)存在,而n是正整数,则lim[f(x)]n=[limf(x)]n.定理4设有数列{xn}和{yn}.如果,,那么(1);(2);(3)当(n=1,2,×××)且B¹0时,.定理5如果j(x)³f(x),而li
59、mj(x)=a,limy(x)=b,那么a³b.例1.求.解:.讨论:若,则提示:=a0x0n+a1x0n-1+×××+an=P(x0).若,则.例2.求.解:.提问:如下写法是否正确？..例3.求.解:.例4.求.解:,根据无穷大与无穷小的关系得=¥.提问:如下写法是否正确？.讨论:有理函数的极限提示:当时,.当且时,.当Q(x0)=P(x0)=0时,先将分子分母的公因式(x-x0)约去.例5.求.解:先用x3去除分子及分母,然后取极限:.例6.求.解:先用x3去除分子及分母,然后取极限:.例7.求.解:因
60、为,所以.讨论:有理函数的极限提示:.例8.求.解:当x®¥时,分子及分母的极限都不存在,故关于商的极限的运算法则不能应用.因为,是无穷小与有界函数的乘积,所以.定理8(复合函数的极限运算法则)设函数y=f[g(x)]是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成,f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义,若,,且在x0的某去心邻域内g(x)¹u0,则.定理8(复合函数的极限运算法则)设函数y=f[g(x)]是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成,f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义.若g(x
61、)®u0(x®x0),f(u)®A(u®u0),且在x0的某去心邻域内g(x)¹u0,则.简要证明设在{x
62、0<
63、x-x0
64、0,$d>0,当0<
65、x-x0
66、67、f[g(x)]-A
68、0,$h>0,当0<
69、u-u0
70、71、f(u)-A
72、0,$d1>0,当0<
73、
