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1、目录1前言12方程根的存在性定理及其应用22.1方程根的存在性定理1及其应用22.2方程根的存在性定理2及其应用32.3方程根的存在性定理3及其应用53方程根的唯一性定理及其应用63.1方程根的唯一性定理63.2应用举例64方程根的个数讨论84.1方程根的个数84.2应用举例115复合方程根的判别136结论19参考文献20致谢21ii关于方程的根的研究数学系本1103班张东指导老师:殷摘要：求方程的根在中学所学代数中占有重要地位，所以从四个方面研究的根，分别为：利用高等数学中的介值定理、罗尔定理和费马原理证明根的存在性；闭
2、区间上函数的连续性定理，单调性证明根的唯一性；利用导数来研究方程根的个数；复合方程的根应该遵循的原则。关键词:方程；根；介值定理；罗尔定理；费马原理ResearchonequayionrootDepartmentofMathematics,the1003classZhangDongInstructor:YinAbstract:Resultingequayionrootoccupiesanimportantpositioninthehighschoollearningalgebra,sofromfouraspectstost
3、udyrootequayion.Suchas,usingtheintermediatevaluetheorem,rooletheoremofhighermathematicsandfermat’stheoremprovingtheexistenceoftheroot;Thecontinuityoffunctiononclosedintervaltheorem,monotonicitytoprovetheuniquenessoftheroot;Thenumberofderivativetostudyequayionrooto
4、f;Shouldfollowtheprincipleoftherootsofcomplexequations.Keywords:equayion;theroot;intermediatevaluetheorem;Rolle’stheorem;Fermat’stheorem;Thefunctionextremevalue;derivativeii1前言求方程的根是代数中的一个基本的问题，特别是在中学所学代数中，解方程占有重要地位。有学者在这方面已经作了一定的研究,如余剑鸣在《对方程根的题型分析》中给出有关方程根的三类题型:方
5、程根的存在性证明,方程根的唯一性证明及方程根的个数讨论,姚兵在《关于方程的根的一些讨论》一文中也是综合了上述观点；江志杰在《例说复合方程根的判别原则》中通过例子谈了复合方程根的判别原则。但总的来说,讨论得还不够系统也不够透彻，本课题在原有研究的基础上进行了更多方面的研究，更加系统地对方程根的解法进行阐述。本文分为四章，分别为方程根的存在性定理、证明及其应用，唯一性定理、证明及其应用，方程根的个数讨论及复合方程根的判别原则。其中我们利用微积分学的知识讨论方程的根或函数的零点。首先根据连续函数的零点定理、罗尔定理等证明根的存在
6、性；再利用函数的单调性、极值、最值等确定方程的根的个数；而罗尔定理常被用于反证法证明根的唯一性。对于复合方程根的判别，我们利用其五个原则来解答。掌握方程的根的存在性、唯一性、个数及复合方程根的判别,能够熟练地求解方程的根、判断方程根的个数,更好地运用数形结合思想、函数与方程思想与方法等解决方程根的问题。252方程根的存在性定理及其应用2.1方程根的存在性定理1及其应用定理1[1](零点定理)如果在闭区间上连续,且，则至少存在一点，使得，即方程在内至少有一个根。这个定理的几何解释如图2.1.1所示：若点A（,）与B（）分别在
7、轴的两端，则连接A、B的连接曲线与轴至少有一个交点。yBbAaOc图2.1.1证明：利用构造法的思想,将的零点范围逐步缩小。先将二等分为，如果,则定理获证。如果，则和中必然有一个与异号,记这个小区间为,它满足。又将二等分，考虑中点的函数值,要么为零，要么不为零。如果中点的函数值为零，则定理获证。如果中点的函数值不为零,那么必然可以选出一个小区间,使得25在这个区间的端点值异号,记这个小区间为，它满足，且。采用这样的方法一直进行下去,或者到有限步时,某个区间的中点的函数值为零,这样定理的结论成立。或者所有区间的中点的函数值不
8、为零，那么我们就会得到一个无穷的区间序列，它满足:①；②；③。由单调有界定理，可知，如果，则定理可证。如果，因为在点连续，故由连续函数的局部保号性：存在一个，使得在上与同号。根据构造的区间的性质②，有，存在正整数，当时，。根据区间的性质③，，与定理矛盾。综上所述，只有，且。定理获证。注：上面所采用的证明
