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《导与练重点班2017届高三数学一轮复习第八篇立体几何与空间向量第7节立体几何中的向量方法第一课时证明平行和垂直课时训练理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第7节 立体几何中的向量方法第一课时 证明平行和垂直 【选题明细表】知识点、方法题号利用向量解决平行问题1,4利用向量解决垂直问题2,31.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为AB,AD,AA1的中点,求证:平面EFG∥平面B1CD1.证明:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),D1(0,0,1).得E(1,,0),F(,0,0),G(1,0,),=(-,-,0),=(0,-,).
2、设n1=(x1,y1,z1)为平面EFG的法向量,设n2=(x2,y2,z2)为平面B1CD1的法向量.则即令x1=1,可得y1=-1,z1=-1,同理可得x2=1,y2=-1,z2=-1.即n1=(1,-1,-1),n2=(1,-1,-1).由n1=n2,得平面EFG∥平面B1CD1.2.平行六面体ABCDA1B1C1D1中,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,所有棱长都为2.(1)求对角线AC1的长.(2)求证:AC1⊥平面A1BD.(1)解:以,,为基底,则=++,两边平方得=+++2·+2·+2·=22+22+22+2×2×2×+2×2×2
3、×+2×2×2×=24,所以
4、
5、=2,即AC1的长为2.(2)证明:=++,=-,所以·=(++)·(-)=·++·--·-·=2×2×+22+2×2×-22-2×2×-2×2×=0,所以⊥,同理⊥,即AC1⊥BD,AC1⊥BA1,又BD∩BA1=B,所以AC1⊥平面A1BD.3.(2016安阳模拟)在四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,E,F分别为棱AD,PB的中点,且PD=AD.求证:平面CEF⊥平面PBC.证明:建立如图所示的空间直角坐标系,设A(1,0,0),则P(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),E(,
6、0,0),F(,,),设平面CEF的一个法向量为n1=(x,y,z).则得取x=1,则n1=(1,,-),同理,求得平面PBC的一个法向量为n2=(0,,).因为n1·n2=1×0+×-×=0,所以n1⊥n2.所以平面CEF⊥平面PBC.4.(2016四平模拟)如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别为A1B1,B1C1,C1D1的中点.(1)求证:AG∥平面BEF;(2)试在棱BB1上找一点M,使DM⊥平面BEF,并证明你的结论.(1)证明:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴和z轴建立空间直角坐标系,则
7、A(1,0,0),B(1,1,0),E(1,,1),F(,1,1),G(0,,1),=(-,,0),=(-,0,1),而=(-1,,1),所以=+,故与平面BEF共面,又因为AG不在平面BEF内,所以AG∥平面BEF.(2)解:设M(1,1,m),则=(1,1,m),由·=0,·=0,所以-+m=0⇒m=,所以M为棱BB1的中点时,DM⊥平面BEF.
