2016高考数学大一轮复习 9.4直线与圆、圆与圆的位置关系教师用书 理 苏教版

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1、§9.4　直线与圆、圆与圆的位置关系1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．dr⇔相离．(2)代数法：[知识拓展]圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在

2、直线方程为x0x＋y0y＝r2.2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交

3、r1－r2

4、

5、r1－r2

6、(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<

7、r1－r2

8、(r1≠r2)无解[知识拓展]常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切

9、：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(　×　)(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　×　)(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　×　)(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　×　)(5)

10、过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(　√　)(6)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(　√　)1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是________．答案　相交但直线不过圆心解析　由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝＝<且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．2．(2013·安徽改编)直线

11、x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为________．答案　4解析　圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心(1,2)到直线x＋2y－5＋＝0的距离d＝1，截得弦长l＝2＝4.3．两圆交于点A(1,3)和B(m,1)，两圆的圆心都在直线x－y＋＝0上，则m＋c的值等于________．答案　3解析　由题意，知线段AB的中点在直线x－y＋＝0上，∴－2＋＝0，∴m＋c＝3.4．(2014·重庆)已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且A

12、C⊥BC，则实数a的值为________．答案　0或6解析　由x2＋y2＋2x－4y－4＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圆C的圆心坐标为(－1,2)，半径为3，由AC⊥BC可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形，故可得圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为，由点到直线的距离公式可得＝，解得a＝0或a＝6.题型一　直线与圆的位置关系例1　已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．思维点拨　直

13、线与圆的交点个数即为直线方程与圆方程联立而成的方程组解的个数；最短弦长可用代数法或几何法判定．方法一　(1)证明　由消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，因为Δ＝[－(2－4k)]2＋28(k2＋1)>0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．(2)解　设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长AB＝

14、x1－x2

15、＝2＝2，令t＝，则tk2－4k＋(t－3)＝0，当t＝0时，k＝－，当t≠0时，因为k∈R，所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，

16、且t≠0，故t＝的最大值为4，此时AB最小为2.方法二　(1)证明　圆心C(1，－1)到直线l的距离d＝，圆C的半径R＝2，R2－d2＝12－＝，而在S＝11k2－4k＋8中，Δ＝(－4)2－4×11×8<0，故11k2－4k＋8>0对k∈R恒成立，所以R2－d2>0，即d