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《高中数学第二章函数概念与基本初等函数i2.2函数的简单性质2.2.2函数的奇偶性课堂导学案苏教版必修1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2．2．2 函数的奇偶性课堂导学三点剖析一、函数奇偶性的概念【例1】已知f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x3+2x2-1,求f(x)的解析式.思路分析:由于给出了f(x)在x>0时的解析式，求f(x)在x<0时的解析式应转化到x>0上，利用已知解析式求.f(0)利用奇函数的定义求.解析：∵f(x)为奇函数，且0在定义域内，∴f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.设x<0，则-x>0,∴f(-x)=(-x)3+2(-x)2-1=-x3+2x2-1.∵f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x
2、).∴f(x)=-f(-x)=x3-2x2+1.∴f(x)=温馨提示已知函数的奇偶性求函数的解析式,可根据函数奇偶性的定义（记住，奇函数若在0处有定义，一定是f(0)=0）.除此法外，也可根据奇函数、偶函数图象的特点求解.二、函数奇偶性的判定【例2】判断下列函数的奇偶性.（1）f(x)=x3+2x;(2)f(x)=2x4+3x2;(3)f(x)=x3+x2.解析：(1)函数的定义域为R，它关于坐标原点对称，又f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x).即f(-x)=-f(x),所以
3、函数f(x)=x3+2x是奇函数.(2)函数的定义域为R，它关于坐标原点对称，又f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2,即f(-x)=f(x),所以函数f(x)=2x4+3x2为偶函数.（3）函数的定义域为R，它关于坐标原点对称，f(-x)=(-x)3+(-x)2=-x3+x2,与-f(x)和f(x)都不相等，所以f(x)=x3+x2为非奇非偶函数.温馨提示在判断函数奇偶性时，首先求函数定义域，看它是否关于原点对称，这点千万不能忘了.三、函数奇偶性的综合应用【例3】函数f(x),x∈R，若
4、对于任意实数，a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b).求证：f(x)为奇函数.思路分析：先验证f(0)=0,再验证f(-x)=-f(x).证明：设a=0，则f(b)=f(0)+f(b),∴f(0)=0.又设a=-x,b=x,则f(0)=f(-x)+f(x).∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.温馨提示判断函数奇偶性都是紧扣定义，抽象函数奇偶性的判断也不例外，但判断一个抽象函数是奇函数，必须验证f(0)=0是否成立，而判断一个抽象函数是否是偶函数就不需验证f(0)=0.这是因为，对于偶函数f(
5、x),f(0)可以取任意值.各个击破类题演练1已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0,+∞)时，f(x)=x(1+),求f(x).解析：当x<0时,-x>0,由已知f(-x)=(-x)［1+］=-x(1-).∵f(x)是奇函数，故f(-x)=-f(x)，∴-f(x)=-x(1-),∴f(x)=x(1-3x),(x<0).又由f(x)是奇函数，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0.∴f(x)=变式提升1已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x
6、x-2
7、,求x<0，f(x)的表达式.解析：设x<
8、0时，则-x>0，且满足表达式f(x)=x
9、x-2
10、,∴f(-x)=-x
11、-x-2
12、=-x
13、x+2
14、.又f(x)是奇函数，有f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x
15、x+2
16、.∴f(x)=x
17、x+2
18、.故当x<0时，f(x)=x
19、x+2
20、.类题演练2判断下列各函数的奇偶性.(1)f(x)=-；（2）f(x)=
21、x+a
22、-
23、x-a
24、.解析：（1）f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称，且f(-x)=-==-f(x).∴f(x)=-是奇函数.(2)f(x)=
25、x+a
26、-
27、x-a
28、的定义域
29、为R，且f(-x)=
30、-x+a
31、-
32、-x-a
33、=
34、x-a
35、-
36、x+a
37、=-(
38、x+a
39、-
40、x-a
41、)=-f(x).∴f(x)为奇函数.变式提升2判断函数f(x)=的奇偶性.解析：f(-x)===-f(x).∴f(x)是奇函数.类题演练3对任意x,y∈R,且x,y≠0,已知函数y=f(x)(x≠0)满足f（xy)=f(x)+f(y).求证：（1）f(1)=f(-1)=0；（2）y=f(x)为偶函数.证明：（1）令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0,同理f(-1)=0.(2)令y=-1
42、，得f(-x)=f(x)+f(-1),则f(-x)=f(x)，故f(x)为偶函数.变式提升3定义在（-1，1）上的奇函数f(x)=,试确定常数m、n的值.解析：∵f(x)为奇函数，且0∈(-1,1),∴由f(0)=0，可得m=0.又∵f(-x)+f(x)=0,∴+=0,即x2-nx+1=x2+nx+1,∴2nx=0.∵x∈(-1,1),∴n=0.∴m=n=0.
