2018版高中数学第二章函数疑难规律方法学案新人教b版必修1

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1、第二章函数1　函数解析式求解的常用方法一、换元法例1已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)．分析　采用整体思想，可把f(＋1)中的“＋1”看做一个整体，然后采用另一参数替代．解　令t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)．评注　将接受对象“＋1”换作另一个元素(字母)“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便求出关于“t”的函数关系，此即为函数解析式，但在利用这种方法时应注意自变量取值范围的变化，否则就得不到正确的表达式．此法是求函数解析式时常用的方法．二、待

2、定系数法例2已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)的表达式．解　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x.故有解得所以f(x)＝x2－2x－1.评注　若已知函数是某个基本函数，可设表达式的一般式，再利用已知条件求出系数．三、方程消元法例3已知：2f(x)＋f()＝3x，x≠0，求f(x)．解　2f(x)＋f()＝3x，①用去代换①式中的x得2f()＋f(x)＝.②由①×

3、2－②得f(x)＝2x－，x≠0.评注　方程消元法是指利用方程组通过消参、消元的途径达到求函数解析式的目的.2　解读分段函数分段函数是一类特殊的函数，有着广泛的应用，课本中并没有进行大篇幅的介绍，但是它是高考的必考内容，下面就分段函数的有关知识进行拓展，供同学们学习时参考．一、分段函数解读在定义域中，对于自变量x的不同取值范围，相应的对应法则不同，这样的函数称之为分段函数．分段函数是一个函数，而不是几个函数，它只是各段上的解析式(或对应法则)不同而已．二、常见的题型及其求解策略1．求分段函数的定义域、值域例1求函数f(x)＝的值域．解　当x≤－2

4、时，y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4，∴y≥－4；当x＞－2时，y＝，∴y＞＝－1.∴函数f(x)的值域是{y

5、y≥－4}．解题策略　分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．2．求分段函数的函数值例2已知f(x)＝求f(5)的值．解　∵5＜10，∴f(5)＝f(f(5＋6))＝f(f(11))，∵11＞10，∴f(f(11))＝f(9)，又∵9＜10，∴f(9)＝f(f(15))＝f(13)＝11.即f(5)＝11.解题策略　求分段函数的函数值时，关键是判断所给出的自变量所处的区间，再代入相应

6、的解析式；另一方面，如果题目中含有多个分层的形式，则需要由里到外层层处理．3．画出分段函数的图象例3已知函数f(x)＝，作出此函数的图象．解　由于分段函数有两段，所以这个函数的图象应该由两条线组成，一条是抛物线的左侧，另一条是射线，画出图象如图所示．解题策略　分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同分别由表达式作出其图象，作图时一要注意每段自变量的取值范围，二要注意判断函数图象每段端点的虚实．4．求解分段函数的解析式例4某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x(分钟)与相应话费y(元)之间的函数图象如图所示

7、．则：(1)月通话为50分钟时，应交话费多少元；(2)求y与x之间的函数关系式．解　(1)由题意可知当0＜x≤100时，设函数的解析式y＝kx，又因过点(100,40)，得解析式为y＝x，当月通话为50分钟时，0＜50＜100，所以应交话费y＝×50＝20元．(2)当x＞100时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，由图知x＝100时，y＝40；x＝200时，y＝60.则有，解得，所以解析式为y＝x＋20，故所求函数关系式为y＝.解题策略　以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在试题中，解决此类问题的关键是正确地理解题目(或图象)给出的

8、信息，确定合适的数学模型及准确的自变量的分界点．3　合理变形——突破单调性的证明由定义证明函数f(x)在区间D上的单调性，其步骤为：取值→作差→变形→定号．其中变形是最关键的一步，合理变形是准确判断f(x1)－f(x2)的符号的关键所在．本文总结了用定义证明函数单调性中的变形策略．一、因式分解例1求证：函数f(x)＝x2－4x在(－∞，2]上是减函数．证明　设x1，x2是(－∞，2]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(x－4x1)－(x－4x2)＝(x1－x2)(x1＋x2－4)．因为x1＜x2≤2，所以x1－x2＜0，x

9、1＋x2－4＜0.所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．故函数f(x)在(－∞，2]上是减函数．评注　因式分解是变形