高中数学《1.1.1 正弦定理》评估训练 新人教a版必修5

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1、第一章解三角形1.1　正弦定理和余弦定理1.1.1　正弦定理双基达标　(限时20分钟)1．在△ABC中，若a＝5，b＝3，C＝120°，则sinA∶sinB的值是(　　)．A.B.C.D.解析　在△ABC中，C＝120°，故A，B都是锐角．据正弦定理＝＝.答案　A2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且角A＝75°，则b＝(　　)．A．2B．4＋2C．4－2D.－解析　如图所示．在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝4.∴b＝2.3．在△ABC中，若sinA>sinB，则角A

2、与角B的大小关系为(　　)．A．A>BB．AsinB⇔2RsinA>2RsinB(R为△ABC外接圆的半径)⇔a>b⇔A>B.答案　A4．在△ABC中，若AC＝，BC＝2，B＝60°，则C＝________.解析　由正弦定理得＝，∴sinA＝.∵BC＝2

3、°，有一解；③a＝15，b＝2，A＝90°，无解；④a＝30，b＝25，A＝150°，有一解．解析　①中a＝bsinA，有一解；②中csinBb，有一解．答案　④6．在△ABC中，若＝＝，试判断三角形的形状．解　由正弦定理知＝＝，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，∴A＝B或A＋B＝.又∵>1，∴B>A，∴△ABC为直角三角形．综合提高　(限时25分钟7．在△ABC中，若＝＝，则△ABC中最长的边是(　　

4、)．A．aB．bC．cD．b或c解析　由正弦定理知sinB＝cosB，sinC＝cosC，∴B＝C＝45°，∴A＝90°，故选A.答案　A8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)，若m⊥n，且acosB＋bcosA＝c·sinC，则角A，B的大小为(　　)．A.，B.，C.，D.，解析　∵m⊥n，∴cosA－sinA＝0，∴tanA＝，∴A＝，由正弦定理得sinAcosB＋sinBcosA＝sin2C，∴sin(A＋B)＝sin2C，即si

5、nC＝1，∴C＝，B＝.答案　C9．在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，a＝1，则＝________.解析　由已知A＝30°，B＝60°，C＝90°，＝2.∴＝＝＝＝2.答案　210．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝________.解析　∵b＝2a，∴sinB＝2sinA，又∵B＝A＋60°，∴sin(A＋60°)＝2sinA即sinAcos60°＋cosAsin60°＝2sinA，化简得：sinA＝cosA，∴tanA＝，∴A＝30°

6、.答案　30°11．已知方程x2－(bcosA)x＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，且a、b为△ABC的两边，A、B为两内角，试判定这个三角形的形状．解：设方程的两根为x1、x2，由根与系数的关系，得∴bcosA＝acosB.由正弦定理得：sinBcosA＝sinAcosB∴sinAcosB－cosAsinB＝0，sin(A－B)＝0.∵A、B为△ABC的内角，∴0＜A＜π，0＜B＜π，－π＜A－B＜π.∴A－B＝0，即A＝B.故△ABC为等腰三角形．12．(创新拓展)在△ABC中，已知＝，且

7、cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C.(1)试确定△ABC的形状；(2)求的取值范围．解　(1)在△ABC中，设其外接圆半径为R，根据正弦定理得sinA＝，sinB＝，代入＝，得：＝，∴b2－a2＝ab.①∵cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C，∴cos(A－B)－cos(A＋B)＝2sin2C，∴sinAsinB＝sin2C.由正弦定理，得·＝2，∴ab＝c2.②把②代入①得，b2－a2＝c2，即a2＋c2＝b2.∴△ABC是直角三角形．(2)由(1)知B＝，∴A＋C＝，∴C＝－A.∴

8、sinC＝sin＝cosA.根据正弦定理，＝＝sinA＋cosA＝sin.∵0