高中数学 曲线与方程教案 新人教a版选修2-1

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1、2.1曲线与方程一、学习目标：1.使学生了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，并初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，从而为求已知曲线的方程奠定理论基础。2.在领会曲线和方程概念的过程中，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。3.了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点；初步掌握求曲线的方程的方法。二、重点、难点：重点：理解曲线的方程与方程的曲线的概念、求曲线的方程。难点：对求曲线方程的一般步骤的掌握。三、考点分析：本讲内容是我们学习

2、并学好圆锥曲线与方程的关键性内容，也是最重要的内容。我们首先应理解“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念，在高考中一般以小题的形式考查。其次就是会求曲线的方程，这部分内容一般以大题的形式考查。要注重对通性通法的求解和运用。1.曲线的方程和方程的曲线的概念：我们把满足下面两个条件：（1）曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）＝0的解；（2）以方程f（x，y）＝0的解为坐标的点都在曲线C上的方程叫做曲线的方程，则该曲线，叫做方程的曲线。2.求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对

3、（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P的点M的集合P={MP（M）}；（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f（x，y）=0；（4）将方程f（x，y）=0化为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线C上的点。（查漏除杂）.3.求曲线方程的常用方法：（1）直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，且这些条件简单明确，易于表述成含有x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称为直接法。用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意

4、“挖”与“补”。（2）定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线的定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线的定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。（3）代入法：若动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x，y）却随另一动点Q（）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定的或容易求得的，则可先将表示为x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得出P的轨迹方程。代入法也称相关点法。（4）参数法：若求轨迹方程的过程中很难直接找到动点的横坐标与纵坐标之间的关系时，则可借助中间变量（参数），

5、使x，y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。（5）交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数（求两动直线的交点时常用此法），也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程。交轨法可以说是参数法的一种变形。4.轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，轨迹是指曲线，轨迹方程是指曲线的方程.求轨迹方程的本质，就是在给定的坐标系中，求轨迹上任意一点的横坐标与纵坐标之间的关系.知识点一曲线与方程的概念的运用例1.下列方程中哪一个表示的是如下图所示的直线l，为什么？（1）x－y=

6、0（2）－=0（3）x2－y2=0（4）x－y=0思路分析：1）题意分析：本题考查对曲线与方程的概念的准确理解。2）解题思路：先看图，分析其表示的解析式，然后对已知的4个选项进行逐个分析。解答过程：方程（1）是表示直线l的方程，而（2）（3）（4）都不是表示直线l的方程。（2）中直线上的点的坐标不全是方程的解，如（－1，－1）等，即不符合“直线上的点的坐标都是方程的解”这一结论。（3）中虽然“直线l上的点的坐标都是方程的解”，但以方程x2－y2=0的解为坐标的点不全在直线l上，如点（2，－2）等，即不符合“以方

7、程的解为坐标的点都在直线上”这一结论。（4）中依照（2）（3）的分析方式得出不符合“直线上的点的坐标都是方程的解”这一结论，比如点（－1，1）。解题后的思考：理解曲线的方程和方程的曲线的概念，并能对题目作出正确的判定。判定时必须要同时满足（1）直线l上的点的坐标都是方程的解。（2）以方程的解为坐标的点都在直线上。例2.（1）判断点M1（3，－4），M2（－2，2）是否在方程x2+y2=25所表示的曲线上。（2）用曲线方程的定义说明以坐标原点为圆心、半径等于5的圆的方程是x2+y2=25。思路分析：1）题意分析：

8、本题考查点与曲线的位置关系，以及利用定义求解曲线方程。2）解题思路：第（1）问先把点的坐标代入已知的表达式中，满足方程则在曲线上，否则不在曲线上。第（2）问利用圆的定义，结合两点间距离公式化简求解，并进行说明。解答过程：解析：（1）把点M1（3，－4），M2（－2，2）分别代入到方程中，可知前者满足方程，后者不满足。（2）设圆心坐标为（0，0），半径为r=5，圆上的任意一点P（x，y）