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《高中数学 3.2.2等差数列 新人教a版必修1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§3.2.2等差数列目的：等差数列的性质重点:等差数列的性质设数列{an}是等差数列,它有下列性质(1)an=am+(n-m)d(其中m、n∈N*)(2)m、n、p、q∈N*且m+n=p+q,则有：am+an=ap+aq(3)a1+an=a2+an-1=…=ai+an-I=…(4)am+l-al=am+k-ak=md（其中m、k、l∈N*）（5）若{bn}也为等差数列，则{an±bn}与{kan+bn}(k、b为非零实数)也是等差数列。难点：等差数列性质的应用。过程：一、复习：等差数列的定义，通项公式，等差中项，等差数列的证明二、例1、在等差数列中，为公差，若且求证：
2、1°2°证明：1°设首项为，∵∴2°∵∴注意：由此可以证明一个定理：设成AP，则与首末两项距离相等的两项和等于首末两项的和，即：同样：若则例2、在等差数列中，1°若求解：即∴2°若求解：=3°若求解：即∴从而4°若求解：∵6+6=11+17+7=12+2……∴……∴+2∴=2-=2×80-30=130例3、在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8=()分析：利用等差数列的性质：距首、末两项距离相等的两个项的和都相等，即若m+n=p+q,则am+an=ap+aq比较容量解出。解：∵a3+a4+a5+a6+a7=450，而a3+a7=a4
3、+a6=2a5∴5a5=450,∴a5=90∴a2+a8=2a5=180.例4、设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么由an+bn所组成的数列的第37项为（）分析：利用等差数列的性质求解十分方便。解：由{an}，{bn}都是等差数列，可知{an+bn}也为等差数列。设Cn=an+bnc1=a1+b1=100,c2=a2+b2=100∴d=c2-c1=0故cn=100（n∈N*）从而c37=100例5、已知a、b、c的倒数成等差数列，求证：，，的倒数也成等差数列。分析：给定的是三个数的倒数成等差数列故应充分利用三个数x、
4、y、z成等差数列的充要条件：x+y=2z。证明：因为a、b、c的倒数成等差数列∴，即2ac=b(a+c)又+=-2=-2=-2=-2=-2=-2=所以，，的倒数也成等差数列。例6、已知数列{an}为等差数列，公差d≠0,an≠0,（n∈N*）,akx2+2ak+1x+ak+2=0（k∈N*）(1)求证：当k取不同的正整数时，方程有公共根；(2)若方程不同的根依次为x1、x2、x3、…xn…，求证：、、…是等差数列。分析：（1）在已知一元二次方程中其系数为ak、ak+1、ak+2为等差数列的连续三项，故可考虑利用等差中项，将其中一个系数用另两个系数的关系式来表示，这样可
5、考虑方程左端分解因式，如果方程左端有与ak、ak+1、ak+2无关的关于x的因式，则问题已解决。（2）解出xk，然后计算，若为常数即证到。证明：（1）∵{an}为等差数列，d≠0,an≠0,（n∈N*）∴2ak+1=ak+ak+2,代入已知方程：akx2+（ak+ak+2）x+ak+2=0而(akx+ak+2)(x+1)=0方程左端有因式(x+1)，故不论ak、ak+2取何值，x=-1总是方程的根，即当k取不同的正整数时，方程有公共根：x=-1（2）当k取不同的正整数时，xk=-，xk+1=-+1==故=，又=（-）-（）===故是公差为的等差数列。Δ知识点等差数列的
6、性质例7、已知数列{an}为等差数列，ap=q,aq=p(p≠q),求ap+q分析：本题可先转化为a1和d去探索，也可利用等差数列中任2项an和am的关系an=am+(n-m)d进行求解，还可利用一次函数图象解答。三、小结：等差数列性质四、作业：五、练习：1．设a,b,c,为实数，则2是a,b,c成等差数列的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.设{an}为等差数列,且满足a2+a3+a10+a11=48,则a6+a7等于3.设{an}为等差数列,则在下列数列中①{an2}②{pan+q}③{pan}④{nan}(其中p,q为
7、常数),成等差数列的个数为4.(1)已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,则a75=(2)已知数列a,x,b,2x依次成等差数列,则b:a=5.已知a,b,c成等差数列,求证:a2(b+c)、b2(c+a)、c2(a+b)也成等差数列。6．已知：logab、–1、logba成等差数列，且a,b为一元二次方程x2-cx+d=0的两根，求c,d的取值范围。7．已知一元二次方程a(b-c)x2+b(c-a)x+c(a-b)=0有两个相等的实数根，求证：、、成等差数列。8．已知(x<-)(1)求(1)设a1=1,（n∈N*）,求an.
