新课标九年级数学竞赛辅导讲座 第二十八讲 避免漏解的奥秘

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1、第二十八讲避免漏解的奥秘“会而不对，对而不全”，这是许多同学在解题时无法避免而又屡犯不止的错误，提高解题周密性，避免漏解的奥秘在于：掌握分类讨论法，学会分类讨论．分类讨论就是按照一定的标准，把研究对象分成几个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结作出结论的思想方法，其实质是化整为零、各个击破的转化策略．解题时何时需要进行分类?一般来说，当问题包含的因素发生变化，问题结果也相应发生变化，我们就需要对这一关键因素分类讨论，怎样进行正确分类?分类的基本要求是不重复、不遗漏，每次分类必须保持同一的分类标准，多级讨论，逐级进行．【例题求解】【例1】四条线段

2、的长分别为9，5，，1(其中为正实数)，用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段(如图)，则可取值的个数为．思路点拨AB是四条线段中最长的，故AB=9或AB=，又CD长不定，所以应就AB、CD的取值作全面讨论．注：初中数学常见的分类方法有：(1)按定义、性质、法则、公式分类；(2)对参数分类；(3)按图形位置分类；(4)按图形特征分类；(5)按余数分类．注：参数是较为常见的分类对象，因为参数的不同取值，可能导致不同的运算结果，或者必须使用不同的方法去解决，这一分类方法在方程、不等式、函数中有广泛的应用．【例2】方程的所有整数解的个数是()A

3、．2B．3C．4D．5思路点拨这是一个特殊的幂指数方程问题，根据幂指数的意义，可将原问题分成三个并列的简单问题求解：(1)非零实数的零次幂等于1；(2)1的任何次幂等于1；(3)的偶次幂等于1．【例3】试确定一切有理数，使得关于的方程有根且只有整数根．思路点拨根据方程定义，是否为零影响方程的次数，这是质的不同，解法也不同，所以，应对r=0及≠0两种情况分类求解．【例4】已知一三角形纸片ABC，面积为25，BC边的长为10，∠B和∠C都为锐角，M为AB边上的一动点(M与点A、B不重合)．过点M作MN∥BC，交AC于点N．设MN=．(1)用表示△AMN的面积

4、S△AMN；(2)用△AMN沿MN折叠，使△AMN紧贴四边形BCNM(边AM、AN落在四边形BCNM所在的平面内)，设点A落在平面BCNM内的点为A′，△A′MN与四边形BCNM重叠部分的面积为．①试求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②当为何值时重叠部分的面积最大，最大为多少?思路点拨折叠△AMN，A点位置不确定，可能在△ABC内或在BC边上或在△ABC外，故需按以上三种情况分别求出关于的函数关系式，进而求出的最大值．注：有关平面几何问题，经常按图形相互之间的位置进行分类，因为图形存在不同的位置关系，其解答结果可能不同，也可能需要使用不同的方

5、法解决，初中平面几何按位置关系分类，最终一般都归结为点、直线和圆之间的位置关系．【例5】已知⊙Ol与⊙O2外切，⊙Ol的半径R=2，设⊙O2的半径是r．(1)如果⊙Ol与⊙O2的圆心距d=4，求r的值；(2)如果⊙Ol、⊙O2的公切线中有两条互相垂直，并且r≤R，求r的值．思路点拨题中没有给出图形，题设中外切两圆的公切线中有两条互相垂直，情况不惟一，故应分类讨论．注：中考压轴题分类讨论有以下常见情形：(1)由点的不确定定引起的分类讨论；(2)由图形全等或相似的对应关系的不确定性引起的分类讨论；(3)由图形运动导致图形之间位置发生变化引起的分类讨论．学力训

6、练1．已知m为实数，如果函数的图象与轴只有一个交点，那么m的取值为．2．若实数、满足，，则的值为．3．若半径为5和4的两个圆相交，且公共弦长为6，则它们的圆心距等于．4．已知⊙O和不在⊙O上的一点P，过P直线交⊙O于A、B点，若PA·PB=4，OP=5，则⊙O的半径为．5．和抛物线只有一个公共点(-1，-1)的直线解析式为()A．B．C．或D．6．若线段AB两端点到直线的距离分别为4和8，则AB的中点到直线的距离是()A．2B．4C．6D．2或67．点A(-4，0)，B(2，0)是坐标平面上两定点，C是的图象上的动点，则满足上述条件的直角△ABC可以画出

7、()A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3，如果边AB上的点P使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，那么这样的P点有()A．1个B．2个C．3个D．4个9．已知关于的方程．(1)求证：无论是取何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形ABC的一边长，另两边长为、恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．10．已知：如图，抛物线C1经过A，B，C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E．（1）求抛物线C1的解析式；（2）求四边形ABCD的面积；（3）△AOB与△BDE是否相似

8、，如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由；（4）设抛物线C1的对称轴与x轴