避免分类讨论的几种策略 学法指导 不分版本

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1、避免分类讨论的几种策略徐学军一些看似需要分类讨论的数学问题，虽然表现形式可能较为复杂，但其本质常存在简单的一面。因此，如果能用简单的观点、简化的方法对问题的各种情形实施综合、排除、转化等策略，则往往能找到解决问题的简易途径。一、充分利用隐含条件，缩小参数的取值范围例1解关于x的不等式。解：因为x≥3，所以且。所以原不等式化为。即所以。解得x>7。所以原不等式的解集为。例2已知实数x满足不等式。求x的取值范围。解：因为所以x>4或x<－1。又因为所以x>4，此时所以原不等式可化为解得所以，所以原不等式的解集为例3已知△ABC中，角A、B、C成等差数列，，求cosA的值。解：因为，所以。又因为角A

2、、B、C成等差数列，所以。这样是不可能的，因此。所以。所以。二、将各种情形给予综合考虑，对问题进行整体处理例4设函数。若0

3、以不妨设所以，又因为所以。所以原不等式成立。证法2：左右。例7已知锐角α、β、γ满足等式。求证：。证明：不妨设，则。又因为所以当且仅当时，等号成立。所以。四、跳出常规思维，转变考虑问题的角度例8已知m、x为实数，且当时，不等式恒成立，求x的范围？解：令由题意可知，当时，不等式恒成立。因为为关于m的一次函数。所以只要即解得。说明：若用分类的方法，需对的符号进行讨论。例9从6名短跑运动员中选出4个，参加4×100米接力赛，如果甲、乙两人不跑第一棒，则不同的参赛方案有几种？解：第一棒由甲、乙以外的4人中选一人参加，共有种方法；另三棒由剩下的5人中选出三人参加，共有种方法。所以满足条件的参赛方案共有种

4、。说明：若对甲、乙是否入选进行讨论，则需分4种情况。例10已知关于x方程，问a为何值时，方程至少有一个整数根？解：若，则原方程为，矛盾！所以时，故原方程可化为因为a∈N，所以解得又因为x∈Z，且当x=0时，。所以x=－3或x=1，此时a=1。所以当a=1时，方程有两个整数根－3和1。说明：如果用求根公式解出x，再由a的值来讨论根的情况，运算就较为复杂。