苏教版高中数学选修2-2数学归纳法 同步练习

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1、数学归纳法同步练习一、选择题：1.已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()A.30B.26C.36D.62.用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4二、填空题3.观察下列式子：…则可归纳出_________.4.已知a1=,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为_________，由此猜想an=_________.三、解答题：5.用数学归纳法证明4+3n+2能被

2、13整除，其中n∈N*.6.若n为大于1的自然数，求证：.7.已知数列8.数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3，…).用数学归纳法证明数列{}是等比数列.9.设数列满足,证明(1)对一切正整数n成立.（2）令,判断的大小，并说明理由.10.试证用面值为3分和5分的邮票可支付任何n(n＞7，n∈N)分的邮资．11.已知,用数学归纳法证明.12.己知数列{an}满足条件且,设求{bn}的通项公式,并用数学归纳法证明.13.己知数列{an}满足条件且设．试求f(1)

3、，f(2)，f(3)，f(4)的值，推导出f(n)的公式，并证明求{an}的通项公式,14.已知函数且存在使（I）证明：是R上的单调增函数；设其中　（II）证明：（III）证明：参考答案一、选择题：1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时，f(k+1)－f(k)=(2k+9)·

4、3k+1－(2k+7)·3k=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2(k≥2)f(k+1)能被36整除∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36.答案：C2.解析：由题意知n≥3，∴应验证n=3.答案：C二、3.解析：(n∈N*)(n∈N*)、、、三、解答题：5.证明：(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，42(k+1)+1+3k+3=4

5、2k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除∴当n=k+1时也成立.由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除.6.(1)当n=2时，(2)假设当n=k时成立，即7.（1）方法一用数学归纳法证明：1°当n=1时，∴，命题正确.2°假设n=k时有则而又∴时命题正确.由1°、2°知，对一切n∈N时有方法二：用数学归纳法证明：1°当n=1时，∴；2°假设n=k时有

6、成立，令，在[0，2]上单调递增，所以由假设有：即也即当n=k+1时成立，所以对一切.8.由a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3，…)，知a2=S1=3a1,,猜测{}是首项为1，公比为2的等比数列。下面用数学归纳法证明：令bn=.当n=2时,b2=2b1,成立。当n=3时,S3=a1+a2+a3=1+3+2(1+3)=12,b3=4=2b2.成立。假设n=k时命题成立。即bn=2bn－1.那么当n=k+1时。bk+1=.命题成立。综上知{}是首项为1，公比为2的等比数列。9.（I）证法一：当不

7、等式成立.综上由数学归纳法可知，对一切正整数成立.证法二：当n=1时，.结论成立.假设n=k时结论成立，即当的单增性和归纳假设有所以当n=k+1时，结论成立.因此，对一切正整数n均成立.(2)（II）解法一：解法二：I解法三：故.10.证明1°当n=8时，结论显然成立．2°假设当n=k(k＞7，k∈N)时命题成立．若这k分邮资全用3分票支付，则至少有3张，将3张3分票换成2张5分票就可支付k+1分邮资；若这k分邮资中至少有一张5分票，只要将一张5分票换成2张3分票就仍可支付k+1分邮资．故当n=k+

8、1时命题也成立．综上，对n＞7的任何自然数命题都成立．11.12.13.14.解:（I）∵f'(x)=3x2－2x+=3(x－)2+>0,∴f(x)是R上的单调增函数.（II）∵00=x1,y2=f(y1)=f()=<=y1,综上,x1