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《高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.5距离课堂导学案新人教b版选修2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.2.5距离（选学）课堂导学三点剖析一、由定义求距离【例1】棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧面是PAB，PAC都垂直于底面，另两侧面与底面成45°角，M、N分别为BC、CD的中点，最长的侧棱为15cm.求：（1）棱锥的高；（2）底面中心O到平面PMN的距离.解析：棱锥的概念在本题求解中并无作用，重点应分析和利用好给出的面面关系.(1)设高为h,由平面PAB，平面PAC都垂直于底面，得PA⊥底面AC.又∠PBA=45°，∴PA=AB=h,AC=h.由PA2+AC2=PC2及PC=15，得PA=5（cm）;(2)∵BD⊥AC，BD⊥PA，z∴BD⊥平面PAQ.又MN∥BD，∴MN
2、⊥平面PAQ，∴平面PAQ⊥平面PMN.做OH⊥PQ于H，则OH之长即为所求.做AG⊥PQ于G.在Rt△PAQ中，AQ=AC=h,PQ=.∴AG=h.再由，得OH=AG=h=(cm).温馨提示由于在棱锥中，随处可以找到解题必需的三角形，因此平面几何知识和解三角形的知识往往成为正确解题的关键.二、通过转化求距离【例2】如左下图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面AB1D1与平面C1BD的距离.解：如右上图，可证得A1C⊥平面AB1D1，A1C⊥面C1BD.设A1C和平面AB1D1及平面C1BD分别交于P、Q两点.则PQ就是两平行平面AB1D1和平面C1BD的公垂
3、线段.连结A1C1交B1D1于点O1，连结AC交BD于点O，由对角面A1C1CA与两平行平面AB1D1和平面C1BD分别相交于AO1和C1O知AO1∥OC1.由正方体的特性易计算对角面A1C1CA中，O1A1=a,A1A=a,A1C=a,于是在Rt△AA1O1中，AO1=a.由面积关系得A1P=.同理可求得CQ=a,∴PQ=A1C-2A1P=a-a=a.温馨提示本例应用两方面的转化，其一是空间距离的转化，其二是空间问题转化为平面问题，转化为平面问题后，为使思路清晰，可画出辅助图形.这都是我们研究立体问题的基本思想方法，注意体会学习应用.另外本例在转化为对角面中计算问题后，也可以用
4、三角形的中位线的性质得A1P=PQ，CQ=PQ知A1P=PQ=QC，即先证明P、Q两点三等分对角线A1C后再计算.该例还有多种解法.三、利用向量求距离【例3】如下图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.(1)求证：平面B1AD1∥平面BC1D；（2）求平面B1AD1与平面BC1D间的距离.(1)证明：由正棱柱的性质知B1BDD1与AB1C1D分别为矩形，∴AB1∥DC1，D1B1∥DB，故面B1AD1∥BC1D.(2)解：由两平行平面间距离的定义知，面B1AD1与面BC1D间的距离等于B1到面BC1D的距离.设B1M⊥面BC1D，M为垂足，且B1M延长后交面ABCD于
5、N，以，，分别为x,y,z轴的非负轴建立空间直角坐标系，则B1（a,0,a）,设N（x,y,0）,=(x-a,y,-a),=(-a,a,0),=(0,a,a).由⊥，得·=-a(x-a)+ay=0.①由⊥，得·=ay-a2=0.②解①②得y=a，x=2a.于是=（a,a,-a）.记〈,〉=θ,则
6、B1M
7、=
8、
9、·cosθ.由B1B·=
10、
11、·
12、
13、·cosθ,∴
14、
15、===33a.故点B1到面BDC1的距离为a，亦即所求距离为a.温馨提示利用向量方法求解的思路有两个：一是设公垂线段的向量坐标，借助于垂直将此向量坐标确定出来；二是求与公垂线平行的向量n,然后求端点在两异面直线上的向量在n
16、上的射影即可.各个击破类题演练1设AC、BD分别是夹在两个平行平面α、β间的两条线段，且AC=13cm，BD=15cm，AC、BD在平面β上的射影长的和是14cm，求AC、BD分别在平面β上的射影长以及平面α和平面β间的距离.解：过A、B分别作AA1⊥β,BB1⊥β,A1、B1为垂足，连结A1C、B1D，则A1C、B1D为AC和BD在平面β内的射影，且∠AA1C、∠BB1D均为直角.∵α∥β，∴AA1⊥α,BB1⊥α,AA1(或BB1)就是α与β的公垂线段.设AA1=BB1=z,A1C=x,B1D=y.由题意得解得∴AC、BD在β的射影长分别是5cm、9cm；两平面α、β间距离为
17、12cm.变式提升1如下图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′中，棱AA′=5,AB=12,求直线B′C′和平面A′BCD′的距离.解：∵B′C′∥BC,BC平面A′BCD′，∴B′C′∥平面A′BCD′.于是B′C′到平面A′BCD′的距离等于点B′到平面A′BCD′的距离.过点B′在平面A′B′BA中作B′E⊥A′B于点E.∵BC⊥平面A′B′BA，B′E平面A′B′BA，∴B′E⊥BC.又B′E⊥A′B，而A′B∩BC=B,∴B′E⊥平面A′BCD′.即B′E为B′点到平
