高中数学第三章变化率与导数3.3计算导数导学案北师大版选修1

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1、3.3计算导数学习目标　1.会求函数在一点处的导数.2.理解导函数的概念并能求一些简单函数的导函数.知识点一　导函数思考　对于函数f(x)，如何求f′(1)、f′(x)？f′(x)与f′(1)有何关系？答案　f′(1)＝.f′(x)＝.f′(1)可以认为把x＝1代入导数f′(x)得到的值.梳理　如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)，f′(x)＝，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数.区别联系f′(x0)f′(x0)是具体的值，是数值在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此

2、求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f′(x)f′(x)是f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数知识点二　导数公式表函数导函数y＝c(c是常数)y′＝0y＝xα(α为实数)y′＝αxα－1y＝ax(a>0，a≠1)y′＝axlnay＝exy′＝exy＝logax(a>0，a≠1)y′＝y＝lnxy′＝y＝sinxy′＝cosxy＝cosxy′＝－sinxy＝tanxy′＝y＝cotxy′＝－类型一　利用导函数求某点处的导数例1　求函数f(x)＝－x2＋3x的导函数f′(x)，并利用f′(x)求f′(3)，f′(－1).解　∵f′(x

3、)＝＝＝(－Δx－2x＋3)＝－2x＋3，即f′(x)＝－2x＋3，∴f′(3)＝－2×3＋3＝－3，f′(－1)＝－2×(－1)＋3＝5.反思与感悟　f′(x0)是f′(x)在x＝x0处的函数值.计算f′(x0)可以直接使用定义，也可以先求f′(x)，然后求f′(x)在x＝x0处的函数值f′(x0).跟踪训练1　求函数y＝f(x)＝＋5的导函数f′(x)，并利用f′(x)，求f′(2).解　∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝＋5－＝，∴＝，∴f′(x)＝＝＝－.∴f′(2)＝－.类型二　导数公式表的应用例2　求下列函数的导数.(1)y＝sin；(2)y＝x；(3)y＝log3x；(4)

4、y＝；(5)y＝5x.解　(1)y′＝0.(2)因为所以(3)y′＝(log3x)′＝.(4)因为y＝＝＝tanx，所以y′＝(tanx)′＝.(5)y′＝(5x)′＝5xln5.反思与感悟　对于教材中出现的8个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sin＝是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现′＝cos这样的错误结果.二是准确记忆，灵活变形.如根式、分式可先转化为指数式，再利用公式求导.跟踪训练2　求下列函数的导数.(1)y＝(1－)(1＋)＋；(2)y＝2cos2－1.解　(1)∵y＝(1－)(1＋)＋(2)∵y＝2cos2－1＝cos

5、x，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.类型三　导数公式的综合应用命题角度1　利用导数公式求解切线方程例3　已知点P(－1，1)，点Q(2，4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由.解　因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线.设切点为(x0，y0)，由PQ的斜率为k＝＝1，而切线与PQ垂直，所以2x0＝－1，即x0＝－.所以切点为(－，).所以所求切线方程为y－＝(－1)(x＋)，即4x＋4y＋1＝0.引申探究若例3条件不变，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程.解　因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y

6、0)，由PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于PQ，所以2x0＝1，即x0＝.所以切点为M(，).所以所求切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.反思与感悟　解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.跟踪训练3　过原点作曲线y＝ex的切线，那么切点的坐标为，切线的斜率为.答案　(1，e)　e解析　设切点坐标为∵(ex)′＝ex，∴过该点的直线的斜率为∴所求切线方程为∵切线过原点，解得x0＝1.∴切点坐标为(1，e)，斜率为e.命题角度2　利用导数公式求参数例4　已知直线y＝kx是曲线y＝lnx

7、的切线，则k的值等于(　　)A.eB.－eC.D.－答案　C解析　y′＝(lnx)′＝.设切点坐标为(x0，y0)，则切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y＝＋lnx0－1.∵直线y＝kx过原点，∴lnx0－1＝0，得x0＝e，∴k＝.反思与感悟　解决此类问题的关键是设出切点，根据导数的几何意义表示出切线的斜率进一步写出切线方程.跟踪训练4　已知函数f(x)＝，g(x)＝alnx，a∈R，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且