高中数学《反证法》学案1 北师大版选修1-2

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1、反证法导学（一）知识归纳：1．用反证法证明命题的一般步骤如下：①反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.2．反证法一般常用于有下述特点的命题的证明：①结论本身以否定形式出现；②结论是“至少”、“至多”、“唯一”、“都是”等形式；③结论涉及“存在或不存在”，“有限或无限”等形式；④结论的反面比原结论更具体或更易于证明.（二）学习要点：1．用反证法证题的关键是“反设”，对一些特殊结论的反设见下表：原结论词大于（>）小于（<）都是都不是至少n个

2、至多n个反设词不大于（≤）不小于（≥）不都是至少有一个是至多n－1个至少n+1个原结论词有无穷多个存在唯一的对任意p，使…恒成立反设词只有有限多个不存在或至少存在两个至少有一个p，使…不成立2．反证法证题的难点是如何引出“矛盾”，用反证法证明命题“若p则q”时，引出矛盾的形式有下面三个方面：①由假设结论q不成立，经过推理论证得到条件p不成立，即与原命题的条件矛盾，这种情况实际上是证明了命题的“逆否命题”正确；②由假设结论q不成立，经过推理论证得到结论q成立，即由“非q为真”推出了“q为真”，形成了自相矛盾；③由假设结论q不成立，经过推理论证得到

3、一个恒假命题，即与某个“公理、定义、定理、性质”矛盾，或与某个显然的概念、结论矛盾.但在实际应用时，究竟如何引出矛盾必须根据命题本身的数学内容进行探索，有时很难事先估计如何引出矛盾或是否能用反证法证明成功，正是由于这些难点，所以在高考中反证法出现得较少.例1.用反证法证明下述命题：（Ⅰ）某班有49位学生，证明：至少有5位学生的生日在同一个月.[解析]“至少有5位”的反设是“至多只有4位”.[证明]假设至多只有4位学生的生日在同一个月，即生日同在1，2，3，…12月的学生人数都不超过4人，∴该班学生总数m≤4×12=48人，与该班有49个学生的条

4、件矛盾，∴假设不成立，∴至少有5位学生的生日在同一个月.（Ⅱ）设f(x)=x2+ax+b,①求证：

5、f(1)

6、、

7、f(2)

8、、

9、f(3)

10、、中至少有一个不小于.③②[证明]假设由①、②得两式相加得－4

11、f(1)

12、、

13、f(2)

14、、

15、f(3)

16、、中至少有一个不小于.（Ⅲ）设三个正实数a、b、c满足条件=2求证：a、b、c中至少有两上不小于1.[证明]假设a,b,c中至多有一个数不小于1，这包含下面两种情况：（1）a、b、c三数均小于1，即0

17、3与已知条件矛盾；（2）a、b、c中有两数小于1，设02+>2，也与已知条件矛盾；∴假设不成立，∴a、b、c中至少有两个不小于1.[评析]象上面的这些例题，要证明的结论是“至多、至少”等，还是比较容易判断需要用反证法，从证明过程可以看出难点是“引出矛盾”，需有一定的能力，因此反证法在高考中很少要求.例2.已知a、b、c是互不相等的非零实数.求证：三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.证明：反证法：假设三个方程中都没有两个相

18、异实根，则Δ1=4b2－4ac≤0，Δ2=4c2－4ab≤0，Δ3=4a2－4bc≤0.相加有a2－2ab+b2+b2－2bc+c2+c2－2ac+a2≤0，（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0.①由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.例3.若x、y、z均为实数，且a=x2－2y+，b=y2－2z+，c=z2－2x+，则a、b、c中是否至少有一个大于零？请说明理由.解：假设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a+b+c≤0.而a+b+c=x2－2y++y2－2z+

19、+z2－2x+=（x－1）2+（y－1）2+（z－1）2+π－3，∵π－3＞0，且无论x、y、z为何实数，（x－1）2+（y－1）2+（z－1）2≥0，∴a+b+c＞0.这与a+b+c≤0矛盾.因此，a、b、c中至少有一个大于0.●思悟小结1.要注意一些常用的“结论否定形式”，如“至少有一个”“至多有一个”“都是”的否定形式是“一个也没有”“至少有两个”“不都是”.1.掌握常用反证法证题的题型，如含有“至少有一个”“至多有一个”等字眼多用反证法.2.强调反证法的第一步，要与否命题分清.