资源描述：
《高中数学5.4几个著名的不等式5.4.3平均不等式知识导航学案苏教版选修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、5.4.3平均不等式自主整理1.两个正数a、b,则≥______________(当且仅当a=b时取“=”).2.a、b、c∈R+,则≥______________(当且仅当a=b=c时取“=”).3.a1,a2,…,an∈R+,≥______________(当且仅当a1=a2=…=an时取“=”).4.称为这n个正数的________________,称为这n个正数的________________.不等式______________称为算术—几何平均不等式,即n个正数的算术平均不小于它们的几何平均.高手笔记1.平均不等式的使用前提是正数,在使用时一定要考查是否具
2、备前提条件.2.在使用平均不等式求函数的最值时,需考查“三条”,即“一正,二定,三相等”,这三者缺一不可,否则求出的不是函数的最值.“一正”是必不可少的,例如a=b=-2,c=2时,a+b+c=-2,而3=6,显然≥3不成立了.“二定”包含两类最值问题,一是已知n个正数的和为定值(即a1+a2+…+an为定值),求其积a1·a2·…·an的最大值;二是已知乘积a1a2…an为定值,求其和a1+a2+…+an的最小值.“三相等”,等号成立的条件是a1=a2=a3=…=an都相等才能取“=”,否则取不到等号.名师解惑使用算术—几何平均不等式时有哪些常用的技巧?剖析:在利用算
3、术—几何平均不等式求函数的最值(或范围)时,往往需要对代数式变形或拼凑,有时一个数需要拆分成两个或两个以上的数,这时候,拆成的数要相等.如y=+x=,其中把x拆成+两个数的和,而不是把拆成+,否则乘积不为定值,也不是把x拆成,否则等号取不到.也就是得到的乘积为定值或和为定值,这样通过“一正,二定,三相等”求出最值.讲练互动【例1】已知a>0,b>0,且a+b=1,求证:(1+)(1+)≥9.分析:本题可将“1”代换成a+b进行变形,再由平均不等式证出.证明:方法一:∵a>0,b>0,a+b=1,∴(1+)(1+)=(1+)(1+)=(1+1+)(1+1+)≥=9.方法二
4、:∵a>0,b>0,a+b=1,∴(1+)(1+)=(1+)(1+)=(2+)(2+)=4+2(+)+1=5+2(+)≥5+2×2×=9.方法三:∵a>0,b>0,a+b=1,∴2≤a+b=1.∴05、=(+)+(+)+(+)+3≥2+2+2+3=9成立.证法二:∵a、b、c∈R+,且a+b+c=1.∴++=++=3+(+++++)≥3+=9成立.证法三:∵a、b、c∈R+,且a+b+c=1,∴∴≥3.∴++≥≥3×3=9.【例2】已知a、b、c是互不相等的正数,且abc=1,求证:<++.分析:由已知abc=1,可将改写为或将++改写为bc+ac+ab再证出.证法一:∵abc=1,∴∵a、b是互不相等的正数,∴+>2.同理+>,+>.∴+++++>2+2+2,即<++.证法二:∵abc=1,∴++=bc+ac+ab.∵a、b是互不相等的正数,∴bc+ac>2=2·=
6、2.同理,ac+ab>2,ab+bc>2.∴2(ab+bc+ac)>2+2+2.∴ab+bc+ac>++.∴++>++.绿色通道用平均不等式证明可适当进行不等式的变形.变式训练2.已知x、y都是正数,且x+2y=1,求证:≥3+.证明:∵x、y都是正数,且x+2y=1,∴+=(x+2y)(+)=1+≥3+=3+,即+≥3+.【例3】已知a12+a22+…+an2=1,x12+x22+…+xn2=1,求证:a1x1+a2x2+…+anxn≤1.分析:由aixi≤可知需将两式组合证明.证明:a1x1+a2x2+…+anxn≤==+=1.绿色通道证明不等式时要注意不等式的结构
7、,灵活地进行变换.变式训练3.证明a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da.证明:ab+bc+cd+da≤=a2+b2+c2+d2成立.∴a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da.
