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《高中数学5.4几个著名的不等式5.4.2排序不等式知识导航学案苏教版选修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、5.4.2排序不等式自主整理1.设两组实数a1,a2,…,an与b1,b2,…,bn,且a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn,则_________________为同序和,_________________为反序和.2.设c1,c2,…,cn为b1,b2,…,bn的任意一个排列,a1c1+a2c2+…+ancn为乱序和,则和数a1c1+a2c2+…+ancn在a1,a2,…,an与b1,b2,…,bn同序时最大,反序时最小,即______________________,当且仅当______________________或______________________时
2、成立.高手笔记排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题,能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式:同序和、反序和、乱序和,对这三种不同的搭配形式只需注重是怎样的“次序”,较为简单的两种是“同序和”与“反序和”,而乱序和也就不按“常理”的顺序了.排序不等式中等号成立的条件是a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn,这一点不难理解,它是我们解决某些问题的关键,要记住.名师解惑怎样理解排序不等式的证明?剖析:课本对排序不等式的证明过程和方法,用了“探究——猜想——检验——证明”及由特殊到一般的思维过程和发现过程,这是探索新知识、新问题常用到的基本方法,对于数
3、组涉及到的“排序”及“乘积”的问题,出现了两种特殊的顺序“同序”和“反序”,其他为乱序,自然要对它们进行比较,但由于乱序情况较多较复杂,不可能一一验证、证明,所以课本采用了“逐步调整法”,就像日常生活中班级排队一样,逐个调整,每次调整对调一组数都保证了调整后的和不小于调整前的和.最终按由大到小的顺序排列出,理顺大小关系.而实际解决问题时,所给的数组并不一定是按由大到小或由小到大的顺序给出,我们可先对其进行排序,再用排序不等式解决范围问题或研究最值或证明不等式.讲练互动【例1】设a1,a2,…,an是n个互不相同的正整数,求证:a1++…+≥1+++…+.分析:a1,a2,…,
4、an是n个互不相同的正整数,可按从小到大的顺序排列,观察不等式可猜想到与a1,a2,…,an对应的另一列数是1,,,…,,可用排序不等式证出.证明:设b1,b2,b3,…,bn是a1,a2,a3,…,an的一个排列且b1>>…>,∴a1++≥b1+++…+≥1×1+×2+×3+…+×n=1+++…+.绿色通道对于不等式两边结构比较整齐,按一定规律或一定顺序排列出来的,而且每一项容易分解为两个数之积的形式,可考虑用排序不等式证明.变式训练1.设a1,a2,a3,…,an是互不
5、相等的正整数,求证:+…+≥++…+.证明:设b1,b2,…,bn是a1,a2,a3,…,an的一个排列且b1>>…>,∴≥≥++…+.【例2】设a、b、c都是正数,求证:≥a+b+c.分析:本题的结构比较整齐,右边的a、b、c分别可看作是、、,即把ab、bc、ca的顺序调换了,可联想排序不等式.证明:∵a、b、c为正数,不妨设a≥b≥c>0,则ab≥ac≥bc>0且≥≥>0.则++≥++=b+a+c.∴++≥a+b+c成立.绿色通道要利用排序不等式,必须构造相应的
6、数组,并且排列出大小顺序,对于a、b、c同等地位的元素可不妨设出一种顺序进行解答.变式训练2.已知a、b、c为正实数,求证:a+b+c≤.证明:不妨设a≥b≥c>0,则a2≥b2≥c2>0,ab≥ac≥bc>0,∴a2bc+ab2c+abc2≤a3c+ab3+bc3.又∵a≥b≥c>0,∴a3≥b3≥c3>0.∴a3c+ab3+bc3≤a4+b4+c4.∴a2bc+ab2c+abc2≤a4+b4+c4,即abc(a+b+c)≤a4+b4+c4.∴a+b+c≤成立.【例3】设a1,a2,…,an都是正数,b1,b2,…,bn是a1,a2,…,an的任一排列,求证:a1b1-1+
7、a2b2-1+…+anbn-1≥n.分析:本题的结构为两数乘积之和,可用排序不等式.证明:不妨设00.∵b1,b2,…,bn是a1,a2,…,an的任一排列.∴a1b1-1+a2b2-1+…+anbn-1≥a1·+a2·+…+an·=n,即a1b1-1+a2b2-1+…+anbn-1≥n成立.绿色通道认真领会排序不等式的含义,学会用排序不等式进行放缩.变式训练3.已知a1,a2,…,an都是正数,b1,b2,…,bn是a1,a2,…,an的任一排列,求证:a1
