高中数学 3.3.3 函数的最大(小)值与导数目标导学 新人教a版选修1-1

《高中数学 3.3.3 函数的最大(小)值与导数目标导学 新人教a版选修1-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、3.3.3　函数的最大(小)值与导数问题导学一、求函数的最值活动与探究1(1)函数y＝x－sinx，则当x∈[0，π]时，函数的最大值为__________．(2)求函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]的最值．迁移与应用已知函数f(x)＝＋lnx，求f(x)在上的最大值和最小值．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数的导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的全部实根x0，且x0∈[a，b]；(3)求最值，有两种方式：①是将f(x0)的值与f(a)，f(b

2、)比较，确定f(x)的最大值与最小值；②是判断各分区间上的单调性，然后求出最值．二、含参数的最值问题活动与探究21．设f(x)＝－x3＋x2＋2ax．(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2)当0＜a＜2时，f(x)在[1,4]上的最小值为－，求f(x)在该区间上的最大值．2．已知函数f(x)＝(x－k)ex．(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．迁移与应用已知f(x)＝xlnx，求函数f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值．求解含参数函数

3、的最大值和最小值的步骤：(1)求函数的导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的全部实根，同时，根据参数的范围，判断f′(x)＝0的根是否在区间[a，b]内；(3)根据参数的取值范围，确定函数的极大值、极小值；(4)将函数的极值与端点处的函数值进行比较，求出函数的最大值、最小值．三、函数最值的应用活动与探究3设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2．(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)≤2x－2．迁移与应用求方程x3－6x2＋9x－4＝0

4、的根的个数．不等式的恒成立问题、方程根的个数问题、两函数图象交点的个数问题等等，大多可用函数与方程、函数与不等式等思想解决．而导数是研究函数性质的有力工具，可以将问题转化为极值、最值问题等常见思维方式．在求最值时，一种是直接转化为求函数最值问题，一种是含有参数时，“分离参数”后转化为求最值问题．答案：课前·预习导学【预习导引】1．最大值　最小值　极值　端点值预习交流1　提示：(1)函数的极值是函数在某一点附近的情况，是局部函数值的比较；函数的最值是表示函数在定义域上的情况，是对函数在整个定义域上函

5、数值的比较．另外极值不一定是最值，需要将极值和区间端点的函数值进行比较，或者考查函数在区间上的单调性再下结论．(2)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有，函数的最大值一定不小于它的最小值．2．(1)最小值　最大值　最大值　最小值(2)①极　②极预习交流2　提示：f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1．又f(－2)＝2，f(－1)＝－2，f(1)＝2，f(3)＝－18，所以f(x)的最大值为2，最小值为－18．课堂·合作探究

6、【问题导学】活动与探究1　(1)思路分析：先对函数求导，判断函数的单调性，再求最值．π　解析：y′＝1－cosx．∵x∈[0，π]，∴－1≤cosx≤1．∴y′＝1－cosx≥0．∴y＝x－sinx在x∈[0，π]上单调递增．∴x＝π时，y取最大值为π．(2)思路分析：方法一：→→→→→方法二：→→解：方法一：f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1．当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：x－3(－3，－1)－1(－1，0)0

7、(0,1)1(1,2)2f′(x)＋0－0＋0－f(x)－60单调递增极大值4单调递减极小值3单调递增极大值4单调递减－5∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4．方法二：∵f(x)＝－x4＋2x2＋3，∴f′(x)＝－4x3＋4x．令f′(x)＝0，即－4x3＋4x＝0．解得x＝－1或x＝0或x＝1．又f(－3)＝－60，f(－1)＝4，f(0)＝3，f(1)＝4，f(2)＝－5，∴当x＝－3时，f(x)有最小值－60．当x＝±1时，f(x)有最大值4．迁

8、移与应用　解：f′(x)＝＋＝．由f′(x)＝0，得x＝1．∴在上，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,2)2f′(x)－0＋f(x)1－ln2单调递减极小值0单调递增－＋ln2∵f－f(2)＝－2ln2＝(lne3－ln16)，而e3＞16，∴f＞f(2)＞0．∴f(x)在上的最大值为f＝1－ln2，最小值为0．活动与探究2　1．思路分析：(1)根据函数的单调性与导数的关系确定a的取值范围；(2)求f′(x)＝0的根，确定根的范围，从而可判断f(x)在[1