2018版高考数学一轮复习 选修系列 14.2 不等式选讲 第1课时 绝对值不等式 理

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1、选修系列14.2不等式选讲第1课时绝对值不等式理1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式

2、x

3、

4、x

5、>a的解集：不等式a>0a＝0a<0

6、x

7、

8、x

9、>a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)

10、ax＋b

11、≤c(c>0)和

12、ax＋b

13、≥c(c>0)型不等式的解法：①

14、ax＋b

15、≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②

16、ax＋b

17、≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；(3)

18、x－a

19、＋

20、x－b

21、≥c(c>0)和

22、x－a

23、＋

24、x－b

25、≤c(c>0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解

26、，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．2．含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则

27、a

28、－

29、b

30、≤

31、a±b

32、≤

33、a

34、＋

35、b

36、，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)如果a，b，c是实数，那么

37、a－c

38、≤

39、a－b

40、＋

41、b－c

42、，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．1．(2015·山东改编)解不等式

43、x－1

44、－

45、x－5

46、<2的解集．解　①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.②当1

47、原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立．综上，原不等式的解集为(－∞，4)．2．若存在实数x使

48、x－a

49、＋

50、x－1

51、≤3成立，求实数a的取值范围．解　∵

52、x－a

53、＋

54、x－1

55、≥

56、(x－a)－(x－1)

57、＝

58、a－1

59、，要使

60、x－a

61、＋

62、x－1

63、≤3有解，可使

64、a－1

65、≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.3．若不等式

66、2x－1

67、＋

68、x＋2

69、≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．解　设y＝

70、2x－1

71、＋

72、x＋2

73、＝当x<－2时，y＝－3x－1>5；当－2≤x<时，5≥y＝－x＋3>；当x≥时，y＝3x＋1≥，故函数y＝

74、2x－1

75、＋

76、x＋2

77、的

78、最小值为.因为不等式

79、2x－1

80、＋

81、x＋2

82、≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，所以≥a2＋a＋2.解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，故a的取值范围为[－1，].题型一　绝对值不等式的解法例1　(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝

83、x＋1

84、－2

85、x－a

86、，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．解　(1)当a＝1时，f(x)>1化为

87、x＋1

88、－2

89、x－1

90、－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－10，解得

91、x＋2>0，解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为.(2)由题设可得，f(x)＝所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为(a＋1)2.由题设得(a＋1)2>6，故a>2.所以a的取值范围为(2，＋∞)．思维升华　解绝对值不等式的基本方法有：(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．　(1)解不等式

92、x－1

93、＋

94、x＋2

95、≥5的解集．(2)若关于

96、x的不等式

97、ax－2

98、<3的解集为{x

99、－

100、x≤－3或x≥2}．(2)∵

101、ax－2

102、<3，∴－10时，－

103、－

104、x－1

105、＋

106、

107、x

108、＋

109、y－1

110、＋

111、y＋1

112、的最小值．(2)对于实数x，y，若

113、x－1

114、≤1，

115、y－2

116、≤1，求

117、x－2y＋1

118、的最大值．解　(1)∵x，y∈R，∴

119、x－1

120、＋

121、x

122、≥

123、(x－1)－x

124、＝1，

125、y－1

126、＋

127、y＋1

128、≥

129、(y－1)－(y＋1)

130、＝2，∴

131、x－1

132、＋

133、x

134、＋

135、y－1

136、＋

137、y＋1

138、≥1＋2＝3.∴

139、x－1

140、＋

141、x

142、＋

143、y－1

144、＋

145、y＋1

146、的最小值为3.(2)

147、x－2y＋1

148、＝

149、(x－1)－2(y－1)

150、≤

151、x－1

152、＋

153、2(y－2)＋2

154、≤1＋2

155、y－2

156、＋2≤5，即

157、x－2y＋1

158、的最大值为5.思维升华