2018版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 第8讲 曲线与方程 理

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1、第8讲曲线与方程一、选择题1．已知两定点A(1,1)，B(－1，－1)，动点P满足·＝，则点P的轨迹是(　　)A．圆B．椭圆C．双曲线D．拋物线解析设点P(x，y)，则＝(1－x,1－y)，＝(－1－x，－1－y)，所以·＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)(－1－y)＝x2＋y2－2.由已知x2＋y2－2＝，即＋＝1，所以点P的轨迹为椭圆．答案　B2．已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　)．A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线解析　由已知：

2、MF

3、＝

4、MB

5、.由抛物线定义知

6、，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，故选D.答案　D3．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为(　　)．A.－＝1B.＋＝1C.－＝1D.＋＝1解析　M为AQ垂直平分线上一点，则

7、AM

8、＝

9、MQ

10、，∴

11、MC

12、＋

13、MA

14、＝

15、MC

16、＋

17、MQ

18、＝

19、CQ

20、＝5，故M的轨迹为椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1.答案　D4．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且

21、PM

22、

23、＝

24、MQ

25、，则Q点的轨迹方程是(　　)．A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0解析　由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x，4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.答案　D5．已知二面角α－l－β的平面角为θ，点P在二面角内，PA⊥α，PB⊥β，A，B为垂足，且PA＝4，PB＝5，设A，B到棱l的距离分别为x，y，当θ变化时，点(x，y)的轨迹方程是(　　)A．x2－y2＝9(x≥0)B．x2－y2＝9(x≥0，y≥0)C．y2－x2＝9(y≥0)D．y2－x2＝9(x≥0，y≥0

26、)解析实际上就是求x，y所满足的一个等式，设平面PAB与二面角的棱的交点是C，则AC＝x，BC＝y，在两个直角三角形Rt△PAC，Rt△PBC中其斜边相等，根据勾股定理即可得到x，y所满足的关系式．如图，x2＋42＝y2＋52，即x2－y2＝9(x≥0，y≥0)．答案　B6．在平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AD＝2AB，若P是平面ABCD内一点，且满足：x＋y＋＝0(x，y∈R)．则当点P在以A为圆心，

27、

28、为半径的圆上时，实数x，y应满足关系式为(　　)．A．4x2＋y2＋2xy＝1B．4x2＋y2－2xy＝1C．x2＋4y2－2xy＝1D．x

29、2＋4y2＋2xy＝1解析　如图，以A为原点建立平面直角坐标系，设AD＝2.据题意，得AB＝1，∠ABD＝90°，BD＝.∴B、D的坐标分别为(1,0)、(1，)，∴＝(1,0)，＝(1，)．设点P的坐标为(m，n)，即＝(m，n)，则由x＋y＋＝0，得：＝x＋y，∴据题意，m2＋n2＝1，∴x2＋4y2＋2xy＝1.答案　D二、填空题7．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)、B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是____________．解析设抛物线焦点为F，过A、B、O作准线的垂线AA1、BB1、OO1，则

30、AA

31、1

32、＋

33、BB1

34、＝2

35、OO1

36、＝4，由抛物线定义得

37、AA1

38、＋

39、BB1

40、＝

41、FA

42、＋

43、FB

44、，∴

45、FA

46、＋

47、FB

48、＝4，故F点的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．答案＋＝1(y≠0)8.如图，点F(a,0)(a>0)，点P在y轴上运动，M在x轴上运动，N为动点，且·＝0，＋＝0，则点N的轨迹方程为________．解析　由题意，知PM⊥PF且P为线段MN的中点，连接FN，延长FP至点Q使P恰为QF之中点；连接QM，QN，则四边形FNQM为菱形，且点Q恒在直线l：x＝－a上，故点N的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线，其方程为

49、：y2＝4ax.答案　y2＝4ax9．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM＝AB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是________．解析　过P作PQ⊥AD于Q，再过Q作QH⊥A1D1于H，连接PH、PM，可证PH⊥A1D1，设P(x，y)，由

50、PH

51、2－

52、PM

53、2＝1，得x2＋1－＝1，化简得y2＝x－.答案　y2＝x－10.曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨

54、迹，给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲