2019届高考数学大一轮复习第五章平面向量5.4平面向量应用举例学案文北师大版

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1、§5.4　平面向量应用举例最新考纲考情考向分析1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题.主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以选择题、填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题.1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其

2、中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cosθ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义

3、a

4、＝＝，其中a＝(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．2．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．3．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线

5、与垂直求解相关问题．知识拓展1．若G是△ABC的重心，则＋＋＝0.2．若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与直线l平行．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若∥，则A，B，C三点共线．(　√　)(2)在△ABC中，若·<0，则△ABC为钝角三角形．(　×　)(3)若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是菱形．(　√　)(4)设定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是x＋2y－4＝0.(　√　)(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C

6、(8,0)，若动点P满足：＝＋t(＋)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.(　√　)题组二　教材改编2．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5,2)，C(－1，－4)，则该三角形为(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形答案　B解析　＝(2，－2)，＝(－4，－8)，＝(－6，－6)，∴

7、

8、＝＝2，

9、

10、＝＝4，

11、

12、＝＝6，∴

13、

14、2＋

15、

16、2＝

17、

18、2，∴△ABC为直角三角形．3．若O为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC为________三角形．答案　等腰解析　∵－＝＝－，＋－2＝(－)＋(－)＝＋，由已知(－)·(＋

19、－2)＝0，得(－)·(＋)＝0，即(－)⊥(＋)．∴△ABC为等腰三角形．题组三　易错自纠4．在△ABC中，已知＝(2,3)，＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，则实数k的值为________________．答案　－或或解析　①若A＝90°，则有·＝0，即2＋3k＝0，解得k＝－；②若B＝90°，则有·＝0，因为＝－＝(－1，k－3)，所以－2＋3(k－3)＝0，解得k＝；③若C＝90°，则有·＝0，即－1＋k(k－3)＝0，解得k＝.综上所述，k＝－或或.5．在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为________．答案　5解析　依题意得·＝1×(－4)

20、＋2×2＝0，所以⊥，所以四边形ABCD的面积为

21、

22、·

23、

24、＝××＝5.6．抛物线M的顶点是坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴上，准线与曲线E：x2＋y2－6x＋4y－3＝0只有一个公共点，设A是抛物线M上一点，若·＝－4，则点A的坐标是_________．答案　(1,2)或(1，－2)解析　设抛物线M的方程为y2＝2px(p>0)，则其准线方程为x＝－.曲线E的方程可化为(x－3)2＋(y＋2)2＝16，则有3＋＝4，解得p＝2，所以抛物线M的方程为y2＝4x，F(1,0)．设A，则＝，＝，所以·＝－y＝－4，解得y0＝±2.所以点A的坐标为(1,2)或(1，－2)．题型一　向量在平面几何中的应

25、用典例(1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB＝________.答案　解析　在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则＝，∴＝＝－，又∵＝＋，∴·＝(＋)·＝2－·＋·－2＝

26、

27、2＋

28、

29、

30、

31、cos60°－

32、

33、2＝1＋×

34、

35、－

36、

37、2＝1.∴

38、

39、＝0，又

40、

41、≠0，∴

42、

43、＝.(2)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足