2018版高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系学案 新人教a版选修2-1

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1、1.1.2　四种命题1.1.3　四种命题间的相互关系学习目标　1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题.知识点一　四种命题的概念思考1　初中已学过命题与逆命题的知识，什么叫做命题的逆命题？答案　在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题.思考2　除了命题与逆命题之外，是否还有其它形式的命题？答案　有.梳理　名称阐释互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题

2、叫做互逆命题.其中的一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题互否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题互为逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题知识点二　四种命题间的相互关系思考1　命题与其逆命题之间是什么关系？答案　互逆.思考2　原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间又是什么关系？答案　原命题与其逆命题

3、是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系.梳理　(1)四种命题间的关系(2)四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.知识点三　逆否证法与反证法1.逆否证法由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，所以在直接证明某一命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接证明原命题为真命题.2.反证法(1)反证法的步骤：①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②从这个假设出发，

4、经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立.(2)反证法导出结果的几种情况：①导出綈p为真，即与原命题的条件矛盾；②导出q为真，即与假设“綈q为真”矛盾；③导出一个恒假命题，即与定义、公理、定理矛盾；④导出自相矛盾的命题.3.反证法与逆否证法的联系(1)依据相同：都是利用原命题与其逆否命题的等价性.(2)起步相同：都是从“綈q”(即否定结论)出发(入手)；(3)思想相同：都是“正难则反”思想的具体体现.4.反证法与逆否证法的区别(1)目的不同：反证法否定结论的目的是推出矛盾，而逆否证法否定结论的目的是推出“綈p”(即否定条件)；(2)本质不同：逆否证法实质是证明一

5、个新命题(逆否命题)成立，而反证法是把否定的结论作为新的条件连同原有的条件进行逻辑推理，直至推出矛盾，从而肯定原命题的结论.类型一　四种命题的关系及真假判断命题角度1　四种命题的写法例1　把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等.解　(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数.否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数.(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.逆命题：若x2＋x－6＝0，则

6、x＝2.否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.(3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等.逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角.否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等.逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角.反思与感悟　由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论.跟踪训练1　写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题.(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形.解　(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数.否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数.逆

7、否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数.(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高.否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等.逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高.命题角度2　四种命题的真假判断例2　写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.(1)若a>b，则ac2>bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形.解　(1