2018版高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及其应用 理

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1、第七章不等式7.4基本不等式及其应用理1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤2(a，b∈R)．(4)≥2(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有

2、最小值2.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)【知识拓展】不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)A成立⇔f(x)max>A(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x

3、)A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D；不等式f(x)0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　×　)(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.(　×　)(5)不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件．(　×　)(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(　√

4、　)1．(教材改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)A．80B．77C．81D．82答案　C解析　∵x>0，y>0，∴≥，即xy≤()2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.2．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有(　　)A．最大值为0B．最小值为0C．最大值为－4D．最小值为－4答案　C解析　f(x)≤－2－2＝－4，当且仅当x＝－1时，f(x)max＝－4.3．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)A.≤B.＋≤1C.≥2D．a2＋b2≥8答案　D解析　4＝a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号

5、成立)，即≤2，ab≤4，≥，选项A，C不成立；＋＝＝≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立．4．(教材改编)已知x，y均为正实数，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．答案　解析　1＝x＋4y≥2＝4，∴xy≤()2＝，当且仅当x＝4y＝，即时，(xy)max＝.5．(教材改编)若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.答案　25解析　设矩形的一边为xm，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，∴y＝x(10－x)≤[]2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，y

6、max＝25.题型一　利用基本不等式求最值命题点1　通过配凑法利用基本不等式例1　(1)已知01)的最小值为________．答案　(1)　(2)1　(3)2＋2解析　(1)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·[]2＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号．(2)因为x<，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2

7、＋的最大值为1.(3)y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.当且仅当(x－1)＝，即x＝＋1时，等号成立．命题点2　通过常数代换法利用基本不等式例2　已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．答案　4解析　∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立．引申探究1．条件不变，求(1＋)(1＋)的最小值．解　(1＋)(1＋)＝(1＋)(1＋)＝(2＋)·(2＋)＝5＋2(＋)≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝时，取等号．2．已知a>0，b>0，＋＝4，求a＋b的最小值．解　由＋＝