2018年高考数学 考点一遍过 专题34 圆的方程 文

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1、专题34圆的方程掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．一、圆的方程圆的标准方程圆的一般方程定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径方程圆心半径区别与联系（1）圆的标准方程明确地表现出圆的几何要素，即圆心坐标和半径长；（2）圆的一般方程的代数结构明显，圆心坐标和半径长需要通过代数运算才能得出；（3）二者可以互化：将圆的标准方程展开可得一般方程，将圆的一般方程配方可得标准方程注：当D2+E2－4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点；当D2+

2、E2－4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有意义，不表示任何图形．二、点与圆的位置关系标准方程的形式一般方程的形式点（x0，y0）在圆上点（x0，y0）在圆外点（x0，y0）在圆内三、必记结论（1）圆的三个性质①圆心在过切点且垂直于切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．（2）两个圆系方程具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程．①同心圆系方程：，其中a，b为定值，r是参数；②半径相等的圆系方程：，其中r为定值，a，b为参数．考向一求圆的方程1．

3、求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来看，关键在于求出圆心坐标和半径，从圆的一般方程来讲，能知道圆上的三个点即可求出圆的方程，因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．2．用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”．典例1求圆心在直线上,且过点的圆的方程．【答案】或故所求圆的方程为．由题意得,解得．故所求圆的方程为．1．求满足下列条件的圆的方程：（1）圆心在直线上,与轴相交于两点;（2）经过三点．考向二与圆有关的对称

4、问题1．圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称．2．圆关于点对称：（1）求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置;（2）两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．3．圆关于直线对称：（1）求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置;（2）两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．典例2（1）已知圆C1：（x+1）2+（y－1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1=0对称，则圆C2的方程为A．B．C．D．（2）若圆（x+1）2+（y－3）2=9上相异两点P，Q关于直线kx

5、+2y－4=0对称，则k的值为_________．【答案】（1）B；（2）2．2．若圆x2＋y2＝4和圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为A．x＋y＝0B．x＋y－2＝0C．x－y－2＝0D．x－y＋2＝0考向三与圆有关的轨迹问题1．求轨迹方程的步骤如下：建系，设点：建立适当的坐标系，设曲线上任一点坐标．写集合：写出满足复合条件P的点M的集合．列式：用坐标表示，列出方程．化简：化方程为最简形式．证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．2．求与圆有关的轨迹方程的方法典例

6、3已知点P（2,2），圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求点M的轨迹方程；（2）当

7、OP

8、＝

9、OM

10、时，求直线l的方程及的面积．【答案】（1）M的方程为（x－1）2＋（y－3）2＝2；（2）l的方程为y＝－x＋，的面积为．故直线l的方程为y＝－x＋．又

11、OM

12、＝

13、OP

14、＝2，点O到直线l的距离为，

15、PM

16、＝，所以的面积为．3．已知圆x2＋y2＝4上一点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点．（1）求线段AP中点的轨迹方程

17、；（2）若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹．考向四与圆有关的最值问题对于圆中的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值．特别地，要利用圆的几何性质，根据式子的几何意义求解，这正是数形结合思想的应用．典例4已知点在圆上．（1）求的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值．【答案】（1）的最大值为，最小值为；（2）的最大值为，最小值为.解得或．∴的最大值为，最小值为．（2）可视为点与原点连线的斜率，的最大值

18、和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点的斜【名师点睛】1．与圆的几何性质有关的最值（1）记O为圆心，圆外一点A到圆上距离最小为，最大为；（2）过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为以该点为中点的弦；（3）记圆心到直线的距离为d，直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为，最小距离为；（4）过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆．2．与圆的代数结构有关的最值（1）形形式的最值问题，可转