2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法（3）向量法解决空间角和距离问题学案 新人教a版选修2-1

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1、3.2立体几何中的向量方法（3）向量法解决空间角和距离问题学习目标　1.理解直线与平面所成角、二面角的概念.2.掌握向量法解决空间角和距离问题.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲.知识点一　利用空间向量求空间角思考1　空间角包括哪些角？答案　线线角、线面角、二面角.思考2　求解空间角常用的方法有哪些？答案　传统方法和向量法.梳理　空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解.(1)线线角：设两条直线的方向向量分别为a，b，且a与

2、b的夹角为φ，两条直线所成角为θ，则cosθ＝

3、cosφ

4、＝.(2)线面角：设n为平面α的一个法向量，a为直线a的方向向量，直线a与平面α所成的角为θ，则θ＝(3)二面角：①转化为分别在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的方向向量的夹角(注意：要特别关注两个向量的方向).如图所示，二面角α－l－β的大小为θ，A，B∈l，AC⊂α，BD⊂β，AC⊥l于A，BD⊥l与B，则θ＝〈，〉＝〈，〉.②先求出二面角一个面内一点到另一面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角.如图所示，已知二面角α－

5、l－β，在α内取一点P，过P作PO⊥β，PA⊥l，垂足分别为O，A，连接AO，则AO⊥l成立，所以∠PAO就是二面角的平面角.③先求出二面角的两个半平面的法向量的夹角，然后结合图形与题意判断求出的是二面角的大小，还是它的补角的大小，从而确定二面角的大小.知识点二　利用空间向量求距离思考1　求点到直线距离的常用方法有哪些？答案　(1)找垂线段，求其长度；(2)利用等面积法；(3)借助向量的模，利用数量积的几何意义求解.思考2　求点到平面的距离的常用方法有哪些？答案　(1)确定垂线段法；(2)等体积法；(

6、3)空间向量法.梳理　(1)点到直线的距离已知直线l是由向量a所确定的直线，P∈l，P0∉l，如图，在l上的射影长为

7、

8、cos〈，a〉＝，则点P0到直线l的距离d＝＝.(2)点到平面的距离用空间向量法求点到平面的距离具体步骤如下：先确定平面的法向量，再求点与平面内一点的连线形成的斜线段在平面的法向量上的射影长.如图，设n＝(a，b，c)是平面α的一个法向量，P0(x0，y0，z0)为α外一点，P(x，y，z)是平面α内的任意一点，则点P0到平面α的距离d＝＝.线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距

9、离，因此，只要掌握点到平面距离的求法，就可解决其他的距离问题.类型一　求两条异面直线所成的角例1　如图，在三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小.解　建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，O1(0，1，)，A(，0，0)，A1(，1，)，B(0，2，0)，∴＝(－，1，－)，＝(，－1，－).∴

10、cos〈，〉

11、＝＝＝.∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.

12、反思与感悟　在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解.但应用向量法时一定要注意向量所成角与异面直线所成角的区别.跟踪训练1　已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值.解　不妨设正方体棱长为2，分别取DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(1，0，2)，F(1，1，2)，则＝(－1，0，2)，＝(1

13、，－1，2)，∴

14、

15、＝，

16、

17、＝，·＝－1＋0＋4＝3.又·＝

18、

19、

20、

21、cos〈，〉＝cos〈，〉，∴cos〈，〉＝，∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为.类型二　求直线和平面所成的角例2　已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角.解　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，a)，C1，方法一　取A1B1的中点M，则M(0，，a)，连接AM，MC1，有＝(－a，0，0)，＝(0，a，0)，＝(0，0，a).∴·

22、＝0，·＝0，∴⊥，⊥，则MC1⊥AB，MC1⊥AA1，又AB∩AA1＝A，∴MC1⊥平面ABB1A1.∴∠C1AM是AC1与侧面ABB1A1所成的角.由于＝，＝(0，，a)，∴·＝0＋＋2a2＝，

23、

24、＝＝a，

25、

26、＝＝a，∴cos〈，〉＝＝.∵〈，〉∈[0°，180°]，∴〈，〉＝30°，又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内，∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.方法二　＝(0，a，0)，＝(0，0，a)，＝.设侧面ABB1A1的法向量为n