2018版高中数学 第三章 指数函数和对数函数 6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学案 北师大版必修1

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1、§6　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学习目标　1.了解指数增长、幂增长、对数增长的意义(重点)；2.能结合具体实际问题，建立恰当函数模型(重、难点)．预习教材P98－103完成下列问题：知识点一　三种函数模型的性质1．当a>1时，指数函数y＝ax在R上是增函数，对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数；当00时，在(0，＋∞)上是增函数．【预习评价】1．若x∈(1,2)，则下列结论正确的是(　　)A．2x>x>lgxB．2x>lgx>xC．x>2x>lgxD．x>l

2、gx>2x解析　∵x∈(1,2)，∴2x>2．∴x∈(1，)，lgx∈(0,1)．∴2x>x>lgx．答案　A2．当x>4时，a＝4x，b＝log4x，c＝x4的大小关系是________．解析　三个已知函数按增长速度由慢到快排列为y＝log4x，y＝x4，y＝4x，当x＝4时，b＝log44＝1，a＝c＝44，所以a，b，c的大小关系是b1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．当a>1时，对数函数y＝logax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x>0，n>1时，幂函数y＝xn是增函数，并

3、且当x>1时，n越大其函数值的增长就越快．【预习评价】1．在函数y＝3x，y＝log3x，y＝3x，y＝x3中增长速度最快的是________．解析　由指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异可判断出y＝3x的增长速度最快．答案　y＝3x2．如图所示曲线反映的是__________　函数模型的增长趋势．解析　由图像知，此函数的增长速度越来越慢，因此反映的是幂函数模型或对数型函数模型的增长速度．答案　幂函数或对数型知识点三　三种函数的增长对比对数函数y＝logax(a>1)增长最慢，幂函数y＝xn(n>0)，指数函数y＝ax(a>1)增长的快慢交替出现，当x足够大时，一定有ax>xn>lo

4、gax．【预习评价】1．在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有logax1，n>0，x>x0时，logaxx0时，数量增加特别快，足以体现“爆炸”的效果．3．判断某个增函数增长快慢的依据是什么？提示　依据是自变量每改变一个单位，函数值增长量的大小．增长量越大，增长速度越快．题型一　函数模型的增长差异【例1】　(1)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快

5、的应该是(　　)A．y＝10000xB．y＝log2xC．y＝x1000D．y＝x(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数函数变化的变量是________．解析　(1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝x增长速度最快．(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y

6、3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化．答案　(1)D　(2)y2规律方法　在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢，因此总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax

7、　　)A．2014lnxB．y＝x2014C．y＝D．y＝2014·2x解析　由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝2014·2x的增长速度最快．故选D．答案　D题型二　函数模型的选择问题【例2】　某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本y(单位：元/102kg)与上市时间x(单位：天)的数据如下表：时间x50110250种植成本y150108150(1