2018版高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学案 北师大版必修1

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1、3.6　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性．(重点)2.会利用指数函数、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢．(难点)[基础·初探]教材整理　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读教材P98～P103有关内容，完成下列问题．1.三种函数的增长趋势当a>1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．当a>1时，对数函数y＝logax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x>0，n>1时，幂函数y＝xn显然也是增函数，并且当x>1时，n越大

2、，其函数值的增长就越快．2.三种函数的增长对比对数函数y＝logax(a>1)增长最慢，幂函数y＝xn(n>0)，指数函数y＝ax(a>1)增长的快慢交替出现，当x足够大时，一定有ax>xn>logax.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝x10比y＝1.1x的增长速度更快些．(　　)(2)对于任意的x>0，都有2x>log2x.(　　)(3)对于任意的x，都有2x>x2.(　　)【答案】　(1)×　(2)√　(3)×2.下列函数中，自变量x充分大时，增长速度最慢的是(　　)A．y＝6x　　　　　　B．y＝log6xC．y＝x6D．y＝6x【解析】　对数函数

3、的增长速度最慢，即增长最慢的是y＝log6x.【答案】　B[小组合作型]指数、对数、幂函数增长趋势的比较　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如图361所示．设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1

4、(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1000，f(10)＝1024，∴f(1)>g(1)，f(2)g(10)．∴1x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴f(2016)>g(2016)>g(8)>f(8)．三种函数模型的表达形式及其增长特点：(1)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模

5、型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”.(2)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，x>0，a>1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”.(3)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型.[再练一题]1.函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图像如图362所示．图362(1)试根据函

6、数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．【解】　(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.(2)当xf(x)；当x1g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x).建立函数模型解决实际问题　假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0

7、.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？【精彩点拨】　首先建立不同回报对应的函数模型，结合其图像解决问题．【尝试解答】　　设第x天所得回报是y元．由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；方案二：y＝10x(x∈N＋)；方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)．作出三个函数的图像如图：由图可以看出，从每天回报看，在第1天到第3天，方案一最多，在第4天，方案一、二一样多，方案三最少，在第5天到第8天，方案二最多，第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第30天，所得回报已超过2亿