2018版高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理（一）学案 苏教版必修5

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1、1.1正弦定理（一）学习目标　1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一　正弦定理的推导思考1　如图，在Rt△ABC中，、、各自等于什么？　　思考2　在一般的△ABC中，＝＝还成立吗？课本是如何说明的？　　梳理　任意△ABC中，都有＝＝，证明方法除课本提供的方法外，还可借助三角形面积公式，外接圆，向量或建立直角坐标系，利用三角函数定义来证明．知识点二　正弦定理的呈现形式1.＝________＝________＝2R(其中R是_____

2、___________)．2．a＝＝＝2RsinA.3．sinA＝，sinB＝________，sinC＝________.知识点三　解三角形解斜三角形是指由六个元素(三条边和三个角)中的________元素(至少有一个是________)，求其余三个未知元素的过程．类型一　定理证明例1　在钝角△ABC中，证明正弦定理．　　　　反思与感悟　(1)本例用正弦函数的定义沟通边与角的内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．(2)要证＝，只需证asinB＝bsinA，而asinB，bs

3、inA都对应CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．跟踪训练1　如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，证明＝2R.　　　类型二　用正弦定理解三角形例2　在△ABC中，已知A＝32.0°，B＝81.8°，a＝42.9cm，解三角形．　　　　　　　反思与感悟　(1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．(2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理：①已知三角形的任意两角与一边；②已知三角形

4、的任意两边与其中一边的对角．跟踪训练2　在△ABC中，已知a＝18，B＝60°，C＝75°，求b的值．　　　　　类型三　边角互化例3　在△ABC中，A＝，BC＝3，求△ABC周长的最大值．　　　　　反思与感悟　利用＝＝＝2R或正弦定理的变形公式a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化．跟踪训练3　在任意△ABC中，求证：a(sinB－sinC)＋b(sinC－sinA)＋c(sinA－sinB)＝0.　　　　1．在△ABC中，若sinA＝2sinB

5、，AC＝2，则BC＝________.2．在△ABC中，sinA＝sinC，则边a，c的大小关系是________．3．在△ABC中，若a＝2bsinA，则B＝________.4．在△ABC中，a＝，b＝，B＝，则A＝________.1.定理的表示形式：＝＝＝2R，或a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC(k>0)．2.正弦定理的应用范围：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．3.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方

6、面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．答案精析问题导学知识点一思考1　＝＝＝c.思考2　在一般的△ABC中，＝＝仍然成立，课本采用边BC上的高AD＝bsinC＝csinB来证明．知识点二1.　　△ABC外接圆的半径3.　知识点三三个　边题型探究例1　证明　如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知：＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sinA，＝sinB.∴CD＝bsinA＝asinB.∴＝.同理，＝.故

7、＝＝.跟踪训练1　证明　连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C，则圆周角∠A′＝∠A.∵A′B为直径，长度为2R，∴∠A′CB＝90°，∴sinA′＝＝，∴sinA＝，即＝2R.例2　解　根据三角形内角和定理，C＝180°－(A＋B)＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.根据正弦定理，得b＝＝≈80.1(cm)；根据正弦定理，得c＝＝≈74.1(cm)．跟踪训练2　解　根据三角形内角和定理，得A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.根据正弦定理，得b＝

8、＝＝9.例3　解　设AB＝c，BC＝a，CA＝b.由正弦定理，得＝＝＝＝2.∴b＝2sinB，c＝2sinC，a＋b＋c＝3＋2sinB＋2sinC＝3＋2sinB＋2sin＝3＋2sinB＋2＝3＋3sinB＋3cosB＝3＋6sin，∴当B＝时，△ABC的周长有最大值9.跟踪训练3　证明　由正弦定理，令a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，k>0.代入得：左边＝k(sinAsinB－sinAsinC＋sinBsinC－sinBsinA＋sinCsinA－sinCsinB)＝0＝右边