2017-2018学年高中数学 课时跟踪训练（十八）最大值、最小值问题 北师大版选修1-1

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1、课时跟踪训练(十八)　最大值、最小值问题1．函数f(x)＝在x∈[2,4]上的最小值为(　　)A．0　　　　　　　　B.C.D.2．函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0,2]上的最大值是3，则a的值为(　　)A．2B．1C．－2D．－13．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)>1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，1)B．(－∞，1]C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)4.如图，将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为

2、k，k＞0)．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为(　　)A.B.C.dD.d5．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.6.如图，已知一罐圆柱形红牛饮料的容积为250mL，则它的底面半径等于______时(用含有π的式子表示)，可使所用的材料最省．7．函数f(x)＝x3＋f′x2－x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(cosx)的最小值和最大值．8．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米．余下工程只需建两端桥墩之间的

3、桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？答案1．选C　∵f(x)＝，∴f′(x)＝＝.当x∈[2,4]时，f′(x)＜0，即函数f(x)在[2,4]上是减少的，故当x＝4时，函数f(x)的最小值为.2．选B　由题意f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－(舍去)

4、又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，所以f(x)的最大值为a＋2＝3，故a＝1.3．选D　∵f(x)＝ax－lnx，f(x)>1在(1，＋∞)内恒成立，∴a>在(1，＋∞)内恒成立．设g(x)＝，∴x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝<0，即g(x)在(1，＋∞)上是减少的，∴g(x)

5、x＝±d(舍去负值)．当0＜x＜d时，f′(x)＞0，f(x)是增加的；当d＜x＜d时，f′(x)＜0，f(x)是减少的．所以函数f(x)在定义域(0，d)内只有一个极大值点x＝d.所以x＝d时，f(x)有最大值．5．解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2.计算f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，故M－m＝32.答案：326．解析：设圆柱的高为h，表面积为S，容积为V，底面半径为r，则表面积S＝2πrh＋2πr2，而V＝250＝πr2h，得h＝，则S＝

6、2πr·＋2πr2＝＋2πr2，S′＝－＋4πr，令S′＝0得r＝，因为S只有一个极值，所以当r＝时，S取得最小值，即此时所用的材料最省．答案：7．解：(1)f′(x)＝3x2＋2f′x－1，则f′＝3×2＋2f′×－1，得f′＝－1，故f(x)＝x3－x2－x.令f′(x)＝3x2－2x－1＞0，解得x＜－或x＞1.故f(x)的单调递增区间为和(1，＋∞)；同理可得f(x)的单调递减区间为.(2)设cosx＝t∈[－1,1]，由(1)知f(x)在区间上是增加的，在区间上是减少的，故f(cosx)max＝f＝；又f(－

7、1)＝f(1)＝－1，故f(cosx)min＝－1.8．解：(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即n＝－1，所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x＝256＋(2＋)x＝＋m＋2m－256.(2)由(1)知，f′(x)＝－＋mx－＝(x－512)．令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.当0＜x＜64时，f′(x)＜0，f(x)在区间(0,64)内为减少的；当64＜x＜640时，f′(x)＞0，f(x)在区间(64,640)内为增加的．所以f(x)在x＝64处取得最小值．此时n＝－1＝－1＝9.故

8、需新建9个桥墩才能使y最小．