二00八年湖南省高中数学竞赛试题.doc

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1、二00八年湖南省高中数学竞赛试题参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题和填空题严格按标准给分，不设中间档次分.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时参照本评分标准适当档次给分.一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.）1.解：集合的元素：，，，，故集合的所有元素之和为16.选A.2.解:设的公比为，则，进而.所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列..显然，.选C.3.解：5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆的方法数为种.每个场馆至少有一名志愿者的情

2、形可分两类考虑：第1类，一个场馆去3人，剩下两场馆各去1人，此类的方法数为种；第2类，一场馆去1人，剩下两场馆各2人，此类的方法数为种.故每个场馆至少有一名志愿者的概率为.选D.４．解：设，，则表示与共线的任一向量，表示点到直线上任一点的距离，而表示点到的距离.当时，由点与直线之间垂直距离最短知，，即对一切，不等式恒成立．反之，如果恒成立，则，故必为点到的垂直距离，，即.选C.5．解：用代替中的，得.如果点在的图象上，则，即点关于点的对称点也在的图象上.反之亦然，故①是真命题.用代替中的，得.如果点在的图象上，则，即点关于点的对称点也在的图象上，故②是真命题.由②是真

3、命题，不难推知③也是真命题.故三个命题都是真命题.选D.6.解：假设、相交于点，则、共面，所以、、、四点共圆，而过圆的弦的中点的弦的长度显然有，所以②是错的．容易证明，当以为直径的圆面与以为直径的圆面平行且在球心两侧时，最大为５，故③对．当以为直径的圆面与以为直径的圆面平行且在球心同侧时，最小为1，故④对.显然是对的．①显然是对的.故选Ａ．7.解：因为，所以，；；；．又，故故选B.8.解：由，令，则为奇函数且单调递增.而,,所以,,,从而,即,故.选D.二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分.请将正确的答案填在横线上.）9．解：由条件得　　　①当时，①化为

4、，无解；当时，①化为，无解；当时，①化为　　　　　　　②若，则，线段长度为１；若，则，线段长度为；若，则，线段长度为４．综上可知，点的轨迹的构成的线段长度之和为．填．10.解:优于，即位于的左上方，“不存在中的其它点优于”，即“点的左上方不存在中的点”.故满足条件的点的集合为.填．11.解：由多项式乘法法则可知，可将问题转化为求方程①的不超过去100的自然数解的组数.显然，方程①的自然数解的组数为下面求方程①的超过100自然数解的组数.因其和为150，故只能有一个数超过100，不妨设.将方程①化为记，则方程的自然数解的组数为因此，的系数为.填7651.12.解：因为底

5、面周长为3，所以底面边长为，底面面积为.又因为体积为，所以高为.该球的直径为，球的体积.填.13.解：第一行染2个黑格有种染法.第一行染好后，有如下三种情况：（1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；（2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有种染法，第四行的染法随之确定；（3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一、第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行的染法随之确定.因此，共有染法为种.填90.14.解：令，则故是周期为5的函数.计算可知：；

6、；；；.所以，；；…；.以上各式叠加，得；同理可得.所以，第2008棵树的种植点为.填.三、解答题（本大题共4小题，共62分.要求有必要的解答过程.）15．证明：由对称性，不妨设，令，则因，可得…………………………（3分）设，则对求导，得.…………（6分）易知，当时，，单调递减；当时，，单调递增.…………………………………………………………………（9分）故在或处有最大值且及两者相等.故的最大值为，即.………………（12分）由，得，其中等号仅当或成立.…………………………………………………………………………（14分）１6．解：如果某方以或获胜，则将未比的一局补上，并不影

7、响比赛结果．于是，问题转化为：求“乙在五局中至少赢三局的概率”．…………（3分）乙胜五局的概率为；………………………………………………（6分）乙胜四局负一局的概率为；………………………………（9分）乙胜三局负二局的概率为……………………………（12分）以上结果相加，得乙在五局中至少赢三局的概率为……………（14分）17.解：（1）因为，所以函数的定义域为，…（2分）又.……………………………………………（5分）当时，，即在上是减函数，故…………………………（8分）因为,所以.…………………………………………………………………………（12分）又容易证明