人教a版必修四平面向量基本定理学案

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1、2．3　平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1　平面向量基本定理[学习目标]　1.通过研究一向量与两不共线向量之间的关系体会平面向量定理的含义，了解基底的含义.2.理解并掌握平面向量基本定理.3.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义．[知识链接]1．如图所示，e1，e2是两个不共线的向量，试用e1，e2表示向量，，，，，a.答　通过观察，可得：＝2e1＋3e2，＝－e1＋4e2，＝4e1－4e2，＝－2e1＋5e2，＝2e1－5e2，a＝－2e1.2．0能不能作为基底？答　由于0与任何向量都是共线的，因此

2、0不能作为基底．3．平面向量的基底唯一吗？答　不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组基底．[预习导引]1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2.两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．①范围：向量a与b的夹角的范围是[0°

3、，180°]．②当θ＝0°时，a与b同向．③当θ＝180°时，a与b反向．(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.要点一　用基底表示向量例1　如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将、、表示出来．解　＝－＝－＝a－b，＝－＝－－＝－b－(a－b)＝－a＋b，＝－＝－(＋)＝(a＋b)．规律方法　(1)用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则结合数乘定义，解题时要注意解题途径的优化与组合．(2)将向量c用a，b表

4、示，常采用待定系数法，其基本思路是设c＝xa＋yb，其中x，y∈R，然后得到关于x，y的方程组求解．跟踪演练1　如图，四边形OADB是以向量＝a，＝b为边的平行四边形．又BM＝BC，CN＝CD，试用a、b表示，，.解　＝＝＝(－)＝(a－b)，∴＝＋＝a＋b.∵＝＝.∴＝＋＝＋＝＝(a＋b)，＝－＝a－b.要点二　向量的夹角问题例2　已知

5、a

6、＝

7、b

8、，且a与b的夹角为120°，求a＋b与a的夹角，a－b与a的夹角．解　如图，作＝a，＝b，∠AOB＝120°，以，为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b，＝a－b

9、.∵

10、a

11、＝

12、b

13、，∴平行四边形OACB为菱形．∴与的夹角∠AOC＝60°，与的夹角即为与的夹角∠ABC＝30°.∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°.规律方法　求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角．过程简记为“一作二证三算”．跟踪演练2　如图，已知△ABC是等边三角形．(1)求向量与向量的夹角；(2)若E为BC的中点，求向量与的夹角．解　(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.如图，延长AB至点D，

14、使AB＝BD，则＝，∴∠DBC为向量与的夹角．∵∠DBC＝120°，∴向量与的夹角为120°.(2)∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，∴与的夹角为90°.要点三　平面向量基本定理的应用例3　如图，在△ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC.AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．解　设＝e1，＝e2，则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ，使得＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μe1＋μe2.故＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.

15、而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得解得∴＝，∴AP∶PM＝4∶1.规律方法　(1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线．注意方程思想的应用．(2)用基底表示向量也是用向量解决问题的基础．应根据条件灵活应用，熟练掌握．跟踪演练3　已知如图，△OAB中，延长BA到C，使AB＝AC，D是将分成2∶1的一个分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.(1)用a，b表示向量，；(2)若＝λ，求实数λ的值．解　(1)∵A为BC中点，∴＝(＋)，＝2a－b.＝－＝－＝2a－b－b＝2a－b.(2)∵＝λ，

16、∴＝－＝λ－＝λa－2a＋b＝(λ－2)a＋b.∵与共线，∴存在实数m，使得＝m，即(λ－2)a＋b＝m，即(λ＋2m－2)a＋b＝0.∵a，b不共线，∴解得λ＝.1．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为(　　)A．3B．－3C．0D．2答案　A2．已知AD为△ABC的中线，则等于(　　)A.＋B.－C.－D.＋