巧思妙解高考数学题目_1

《巧思妙解高考数学题目_1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、巧思妙解2011年高考数学题（上海卷）1.（理20,文21）已知函数f（x）=a·2x+b·3x,其中常数a,b满足ab≠0.（1）若ab＞0，判断函数f（x）的单调性；（2）若ab＜0，求f（x+1）＞f（x）时x的取值范围. 【参考答案】（1）当a＞0，b＞0时，任意x1,x2∈R,x1＜x2,则f（x1）-f（x2）=a（2x1-2x2）+ b（3x1-3x2）.∵2x1＜2x2，a＞0a（2x1-2x2）＜0，3x1＜3x2，b＞0b（3x1-3x2）＜0，∴f（x1）-f（x2）＜0，函数f（x）在R上是增函数.当a＜0,b＜0时,同理,函数f（x）在R上是减函数.

2、（2）略 ·巧思· ①利用“增函数的正数倍是增函数”、“增函数的和还是增函数”，情况1的结论便显而易见。 ②利用“增函数的负数倍是减函数”、“减函数的和还是减函数”，情况2的结论便显而易见。 ·妙解· 若a＞0，b＞0，则a·2x和b·3x在R上递增f（x）在R上递增；若a＜0，b＜0，则a·2x和b·3x在R上递减f（x）在R上递减. 【评注】 ①利用定义判断或证明固然很好，如能利用某些性质解决问题，则更显得轻松、方便。 ②上述单调函数的性质经常用到，教师应向学生补充讲解，使之牢固掌握、灵活运用。 ③“奇函数的和还是奇函数，偶函数的和还是偶函数”，“奇函数与偶函数的积是奇函

3、数”，“奇数个奇函数的积是奇函数，偶数个奇函数的积是偶函数，”这些性质也应当能够掌握。 家教平北京家教上海家教找家教上阳光家教网全国最大台2.（文22）已知椭圆C：（常数m＞1），P是曲线C上的动点，M是曲线C的右顶点，定点A的坐标为（2,0）.（1）若M与A重合，求曲线C的焦点坐标；（2）若m=3,求∣PA∣的最大值和最小值；（3）若∣PA∣的最小值为∣MA∣，求实数m的取值范围. 【参考答案】 （1）略（2）m=3,椭圆方程为.设P（x，y），则∣PA∣2==（-3≤x≤3）.当x=时,∣PA∣min =；当x=-3时,∣PA∣max =5.（3）设动点P（x，y），则∣

4、PA∣2==+5（-m≤x≤m）.∵当x=m时，∣PA∣取最小值，且＞0，∴≥m，且m＞1，解得1＜m≤1+. ·巧思· 家教平北京家教上海家教找家教上阳光家教网全国最大台①利用椭圆的参数方程设点P的坐标，则将“设P（x，y）”与“代入”两步合为一步，而利用余弦函数的有界性也可求出∣PA∣的最值。 ②将∣PA∣2含有m的表达式（关于x的二次函数）先化为“顶点式”，后再分别代入m的值进行运算，便避免了重复过程，而节省文字、减少篇幅。 ·妙解· 设P（mcosθ,sinθ）∣PA∣2=（mcosθ-2）2+sin2θ=（m2-1）cos2θ-4mcosθ+5=（m2-1）（2）m

5、=3cosθ=时,∣PA∣min =；cosθ=-1时,∣PA∣max =5.（3）θ=0时,∣PA∣最小≥1（m＞1）1＜m≤1+. 【评注】 ①椭圆（a＞b＞0）的参数方程为x=acosθ，y=bbinθ；双曲线=1（a＞0,b＞0）的参数方程为x=acscθ，y=btanθ；抛物线y2=2px的参数方程为x=2pt2,y=2pt；这些将普通方程与参数方程“互换”的手法，教师应当指导学生掌握。 ②正如将多项式分解因式并非只是解答“因式分解”的习题时才使用一样，将普通方程化为参数方程也并非只是解答“方程转化”的习题时才使用。由此及彼，其它亦然。 3.（理22）已知数列｛an

6、｝和｛bn｝的通项公式分别为an=3n+6，bn=2n+7（n∈N﹡）.将集合｛x│x=an,n∈N﹡｝｛x│x=bn,n∈N﹡｝中的元素从小到大依次排列，构成数列c1,c2,c3,…,cn,….家教平北京家教上海家教找家教上阳光家教网全国最大台（1）求c1,c2,c3,c4；（2）求证：在数列｛cn｝中，但不在数列｛bn｝中的项恰为a2,c4,…,a2n,…；（3）求数列｛cn｝的通项公式. 【参考答案】（1）略（2）①任意n∈N﹡，设a2n-1=3（2n-1）+6=6n+3=bk=2k+7,则k=3n–2,即a2n-1=b3n-2；②假设a2n=6n+6=bk=2k+7k

7、=3n-∈N﹡（矛盾），∴a2n｛bn｝，∴在数列｛cn｝中，但不在数列｛bn｝中的项恰为a2,c4,…,a2n,….（3）b3k-2=2（3k-2）+7=6k+3=a2k+1,b3k-1=6k+5，a2k=6k+6，b3k =6k+7.∵6k+3＜6k+5＜6k+6＜6k+7，∴当k=1时，依次有b1=a1=c1，b2=c2，a2=c3，b3=c4,…,∴cn=（k∈N﹡）. ·巧思· ①由6n+6=2k+7便知矛盾（偶数不能等于奇数），而无须化为k=3n-再判断。 ②由an=3n+6便知，a2n-1