几何图形（三）

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1、年级六年级学科奥数版本通用版课程标题几何图形（三）编稿老师宋玲玲一校林卉二校黄楠审核张舒直线型面积求解是以三角形、长方形、正方形、梯形等一些规则图形为基础进行研究的，最基本的思想是“等积变形”。对于两个三角形来说，如果等底，面积比等于它们的高之比；如果等高，面积比等于它们的底之比。对于梯形和一般四边形，要清楚四边形（包括梯形）被两条对角线分割而成的4个小三角形之间的面积关系。基本的面积公式：正方形的面积＝边长×边长长方形的面积＝长×宽平行四边形的面积＝底×高三角形的面积＝底×高÷2梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2基本模型：1.等积变换模型：①等底等高的两个三角形面积

2、相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比，如图（1）；（1）（2）③夹在一组平行线之间的等积变形，如图（2）；反之，如果，则可知直线平行于；④正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑤三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。2.蝴蝶定理模型：任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：第7页版权所有不得复制（3）如图（3）①或者；②蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。例

3、1如图所示，大正方形的面积为9平方厘米，中间小正方形的面积为1平方厘米，甲、乙、丙、丁是四个梯形，那么，乙与丁的面积之和是多少平方厘米？分析与解：由题意可知，大正方形的边长为3厘米，小正方形的边长为1厘米，此时可得：＝（上底＋下底）×÷2，＝（上底＋下底）×÷2。所以＋＝＋＝2×（＋）＝2×（3－1）＝4（平方厘米）。例2在长方形中，，，四边形的面积是，求阴影部分的总面积。分析与解：将这个复杂的图形分解成简单的图形来思考。仔细分析一下的面积可得，如上左图：第7页版权所有不得复制根据等积变化，可以得到，同理，由上右图可以得到；所以阴影部分的面积和是：，而（），所以阴影部

4、分的总面积是：（）。例3如图所示，四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形。如果小正方形的面积是1平方米，大正方形的面积是5平方米，那么在直角三角形中，短直角边的长度是多少米？分析与解：这其实是一幅“弦图”。三国时数学家赵爽就利用“弦图”对勾股定理作出了严格而又简洁的证明。小正方形的面积是1平方米，即小正方形的边长是1米。大正方形的面积是5平方米，所以外边4个直角三角形的面积和是5－1＝4（平方米），也就是说每个直角三角形的面积是1平方米。长直角边和短直角边的差就等于中间小正方形的边长，即1米。不妨设长直角边的长为米，短直角边的长为米，根据上述条件可知÷

5、2＝1①－＝1②将②式整理为＝＋1，代入①式可得×（＋1）÷2＝1，求得＝1，即短直角边的长度是1米。例4如图所示，一个大长方形被两条线段分成4个小长方形，其中3个小长方形的面积分别是5平方厘米，6平方厘米，15平方厘米，求大长方形的面积。分析与解：根据图形中的比例关系可以得到5︰15＝6︰。＝15×6÷5＝18（平方厘米），因此大长方形的面积是5＋15＋6＋18＝44（平方厘米）。第7页版权所有不得复制例5李叔叔用篱笆围了一块梯形菜地，一边靠墙（如下图）。篱笆全长50米，这块菜地的面积是多少平方米？分析与解：根据题意可知，梯形的上、下底之和是50－15＝35（米），

6、高是15米，由梯形面积计算公式得到，梯形菜地的面积是35×15÷2＝262.5（平方米）。求梯形的面积并不一定非要分别求出梯形上底和下底的具体数值，如果知道上底和下底的和仍然可以计算，本题就是如此。需要提醒同学们注意的是，不能想当然地认为梯形的上底是下底的一半，因为没有条件支持这样的判断，虽然从图上看着像，但是“看着像”不能作为数学上推理的依据。例6如图所示，BD是梯形ABCD的一条对角线，线段AE与梯形的一条腰DC平行，AE与BD相交于O点。已知三角形BOE的面积比三角形AOD的面积大4平方米，并且EC＝BC，求梯形ABCD的面积。分析与解：由题意可设EC＝2，则A

7、D＝2，BC＝5，梯形的高为。三角形BOE的面积比三角形AOD的面积大4平方米，即－＝4，即5÷2－2＝4，得＝8。＝（2＋5）×÷2＝3.5＝3.5×8＝28（平方米）。例7下图是由两个正方形组合而成的图形，两个正方形的边长分别是5厘米和6厘米，求阴影部分的面积。分析与解：第7页版权所有不得复制要求阴影部分的面积，只要用两个正方形的面积之和减去图中空白部分的面积即可，而空白部分是由3个三角形组成的。两个正方形的面积之和是5×5＋6×6＝61（平方厘米），＝5×5÷2＝12.5(平方厘米)，＝（5＋6）×6÷2＝33(平方厘米)，＝（6－5）×6÷2