第3讲平行关系(自学用).doc

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1、必修二第3讲：空间中的平行关系一．基础知识梳理1．平面概述：特征画法表示法2．三公理三推论:公理1：若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。3．空间直线:（1）空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面（2）平行直线：公理4：平行于同一条

2、直线的两条直线互相平行。等角定理：（3）异面直线及所成的角：4．直线和平面的位置关系（1）（2）（3）线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。推理模式：．线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。推理模式：．5．两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）；两平面平行（没有公共点）。（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。定理的模式：（2）两个平面平行的性质（1

3、）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。二．典型例题分析题型1：共线、共点和共面问题例1．如图所示，平面ABD平面BCD＝直线BD，M、N、P、Q分别为线段AB、BC、CD、DA上的点，四边形MNPQ是以PN、QM为腰的梯形。试证明三直线BD、MQ、NP共点。证明：∵　四边形MNPQ是梯形，且MQ、NP是腰，∴直线MQ、NP必相交于某一点O。∵　O直线MQ；直线MQ平面ABD，∴　O平面ABD。同理，O平面BCD，又两平面ABD、BCD的交线为BD，故由公理二知，O

4、直线BD，从而三直线BD、MQ、NP共点。点评：由已知条件，直线MQ、NP必相交于一点O，因此，问题转化为求证点O在直线BD上，由公理二，就是要寻找两个平面，使直线BD是这两个平面的交线，同时点O是这两个平面的公共点即可．“三点共线”及“三线共点”的问题都可以转化为证明“点在直线上”的问题。题型2：异面直线的判定与应用例2．已知：如图所示，ab＝a，bb，ab＝A，ca，c∥a。求证直线b、c为异面直线。证法一：假设b、c共面于g．由Aa，a∥c知，Ac，而ab＝A，ab＝a，∴Ag，Aa。又ca，∴g、a都经过直线c及其外的一点A，∴g与a重合，于

5、是ag，又bb。又g、b都经过两相交直线a、b，从而g、b重合。∴a、b、g为同一平面，这与ab＝a矛盾。∴b、c为异面直线．证法二：假设b、c共面，则b，c相交或平行。（1）若b∥c，又a∥c，则由公理4知a∥b，这与ab＝A矛盾。（2）若bc＝P，已知bb，ca，则P是a、b的公共点，由公理2，Pa，又bc＝P，即Pc，故ac＝P，这与a∥c矛盾。综合（1）、（2）可知，b、c为异面直线。证法三：∵ab＝a，ab＝A，∴Aa。∵a∥c，∴Ac，在直线b上任取一点P（P异于A），则Pa（否则ba，又aa，则a、b都经过两相交直线a、b，则a、b重合

6、，与ab＝a矛盾）。又ca，于是根据“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线”知，b、c为异面直线。题型3：线线平行的判定与性质例3．（2003上海春，13）关于直线a、b、l及平面M、N，下列命题中正确的是（）A．若a∥M，b∥M，则a∥bB．若a∥M，b⊥a，则b⊥MC．若aM，bM，且l⊥a，l⊥b，则l⊥MD．若a⊥M，a∥N，则M⊥N解析：解析：A选项中，若a∥M，b∥M，则有a∥b或a与b相交或a与b异面。B选项中，b可能在M内，b可能与M平行，b可能与M相交.C选项中须增加a与b相交，则l⊥M。D选项证明如下

7、：∵a∥N，过a作平面α与N交于c，则c∥a，∴c⊥M.故M⊥N。答案D。点评：本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的基本性质。题型4：线面平行的判定与性质例4．（2006四川理19）如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，，求证：面。证明：取的中点，连结；∵分别为的中点,∴∴面，面∴面面∴面题型5：面面平行的判定与性质A1AB1BC1CD1DGEF例5.正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是AA1，CC1的中点.(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)求证：平面EB1D1∥平面FBD．证明：(1)由B1B∥DD1，得四

8、边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，又BDË平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，∴BD∥平面