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1、不等式的证明1．比较法作差作商后的式子变形，判断正负或与1比较大小作差比较法-----要证明a＞b,只要证明a-b＞0。作商比较法---已知a,b都是正数，要证明a＞b,只要证明a/b＞1例1求证：x2+3＞3x证明：∵(x2+3)-3x=x2-3x+()2-()2+3=+≥＞0∴x2+3＞3x例2已知a,bÎR+，并且a≠b，求证a5+b5＞a3b2+a2b3证明：(a5+b5)-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5)=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a+b)(a-b
2、)2(a2+ab+b2)∵ a,bÎR+∴ a+b＞0,a2+ab+b2＞0又因为a≠b,所以（a-b）2＞0∴ (a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)＞0即 (a5+b5)-(a3b2+a2b3)＞0∴ a5+b5＞a3b2+a2b3例3已知a,bÎR+，求证：aabb≥abba证明：=∵a,bÎR+,当a＞b时，＞1,a-b＞0，＞1;当a≤b时,≤1,a-b≤0,≥1.∴≥1,即aabb≥abba综合法了解算术平均数和几何平均数的概念，能用平均不等式证明其它一些不等式定理1如果a,bÎR，那么a2+b2≥2ab（当且
3、仅当a=b时取“=”号）证明：a2+b2-2ab=(a-b)2≥0当且仅当a=b时取等号。所以a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号)。定理2 如果a,b,cÎR+，那么a3+b3+c3≥3abc（当且仅当a=b=c时取“=”号）证明：∵a3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0∴a3+b3+c3≥3abc,很明显，当且仅当a=b=c时取等号。例1已知a,b,c是不全等的正数，求
4、证a(a2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)＞6abc.放缩法这也是分析法的一种特殊情况，它的根据是不等式的传递性—a≤b，b≤c，则a≤c，只要证明“大于或等于a的”b≤c就行了。例,证明当k是大于1的整数时，，我们可以用放缩法的一支——“逐步放大法”，证明如下： 分析法从要证明的不等式出发，寻找使这个不等式成立的某一“充分的”条件，为此逐步往前追溯（执果索因），一直追溯到已知条件或一些真命题为止。例如要证a2＋b2≥2ab我们通过分析知道，使a2＋b2≥2ab成立的某一“充分的”条件是a2－2ab＋b2≥0，即(
5、a－b)2≥0就行了。由于是真命题，所以a2＋b2≥2ab成立。分析法的证明过程表现为一连串的“要证……，只要证……”，最后推至已知条件或真命题例 求证：证明:构造图形证明不等式例：已知a、b、c都是正数，求证：＋>分析与证明：观察原不等式中含有a2+ab+b2即a2+b2＋ab的形式，联想到余弦定理：c2=a2+b2-2ab•CosC,为了得到a2+b2＋ab的形式,只要C=120°，这样：可以看成a、b为邻边，夹角为120°的的三角形的第三边可以看成b、c为邻边，夹角为120°的的三角形的第三边120°120°120°abcC
6、AB可以看成a、c为邻边，夹角为120°的的三角形的第三边构造图形如下，AB=,BC=,AC=显然AB+BC>AC，故原不等式成立。数形结合法数形结合是指通过数与形之间的对应转化来解决问题。数量关系如果借助于图形性质，可以使许多抽象概念和关系直观而形象，有利于解题途径的探求，这通常为以形助数；而有些涉及图形的问题如能转化为数量关系的研究，又可获得简捷而一般化的解法，即所谓的以数解形。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识、数形的转化，可以培养思维的灵活性、形象性。通过
7、数形结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化。 例．证明,当x>5时,≤x-2解:令y1=,y2=x-2,从而原不等式的解集就是使函数y1>y2的x的取值范围。在同一坐标系中分别作出两个函数的图象。设它们交点的横坐标是x0,则=x0-2>0。解之，得x0=5或x0=1（舍）。根据图形,很显然成立.反证法先假定要证不等式的反面成立，然后推出与已知条件（或已知真命题）和矛盾的结论，从而断定反证假定错误，因而要证不等式成立。穷举法对要证不等式按已知条件分成各种情况，加以证明（防止重复或遗漏某一可能情况）。注意：在证明不等式时，应灵活运用
8、上述方法，并可通过运用多种方法来提高自己的思维能力。宏志网校俊杰
