相似三角形的典型例题八.doc

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1、相似三角形经典习题例1从下面这些三角形中，选出相似的三角形．解①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例2已知：如图，ABCD中，，求与的周长的比，如果，求．解是平行四边形，∴，∴∽，又，∴，∴与的周长的比是1：3．又，∴．例3如图，已知∽，求证：∽．分析由于∽，则，因此，如果再进一步证明，则问题得证．证明∵∽，∴．又，∴，∴．∵∽，∴．在和中，∵，∴∽．例4下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似．（2）所有的等腰三角形都相似．（3）所有的等腰直角三角形都相似．（4）所有的等边三角形都相似．分析（

2、1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同．（3）正确．设有等腰直角三角形ABC和，其中，则，设的三边为a、b、c，的边为，则，∴，∴∽．（4）也正确，如与都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此∽．答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确．例5如图，D点是的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在的边上，并且点D、点E和的一个顶点组成的小三角形与相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE的画法．解

3、：画法略．例6如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．分析本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即厘米米，厘米米，米，求BC．由于∽，又∽，∴，从而可以求出BC的长．解，∴，∴∽．∴．又，∴，∴∽，∴，∴．又厘米米，厘米米，米，∴米．即电线杆的高为6米．例7如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，若m，小明的眼睛离地面的高

4、度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m）．分析根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，与的相似关系就明确了．解因为，所以∽．所以，即．所以（m）．说明这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．分析这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解在格点中，所以，又．所以．所以∽．说明遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9根据下列各组条件，判定和是否相似，

5、并说明理由：（1）．（2）．（3）．解（1）因为，所以∽；（2）因为，两个三角形中只有，另外两个角都不相等，所以与不相似；（3）因为，所以相似于．例10如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．解（1）∽两角相等；（2）∽两角相等；（3）∽两角相等；（4）∽两边成比例夹角相等；（5）∽两边成比例夹角相等；（6）∽两边成比例夹角相等．例11已知：如图，在中，是角平分线，试利用三角形相似的关系说明．分析有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD是底角的平分线，∴，

6、则可推出∽，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明，∴．又平分，∴．∴，且∽，∴，∴，∴．说明（1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式，或平方式，一般都是证明比例式，，或，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12已知的三边长分别为5、12、13，与其相似的的最大边长为26，求的面积S．分析由的三边长可以判断出为直角三角形，又因为∽，所以也是直角三角形，那么由的最大边长为26，可以求出相似比，

7、从而求出的两条直角边长，再求得的面积．解设的三边依次为，，则，∴．又∵∽，∴．，又，∴．∴．例13在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．分析判断这种方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量

8、方法，过F作于G，交CE于H，可知∽，且GF、HF、EH可求，这样可求得AG，故旗杆AB可求．解这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高．过F作于G，交CE于H（如图）．所以∽．因为，所以．由∽，得，即，所以，解得（米）所以旗杆的高为21.5米．说明在具体测量时，方法要现实、切实