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1、巧思妙解2011年高考数学题（北京卷）1.（文19）已知椭圆的离心率为，右焦点为（2,0）.斜率为1的直线与椭圆交于A,B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为.（1）求椭圆的方程；（2）求△PAB的面积.【参考答案】（1）……（2）设直线l的方程为由得设A、B的坐标分别为AB中点为E，则.因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率解得m=2.此时方程①为解得家教平北京家教上海家教找家教上阳光家教网全国最大台所以所以
2、AB
3、=.此时，点P（—3，2）到直线AB：的距离所以△PAB的面积S=·巧思·①椭圆的方程中，y2的系
4、数是x2系数的3倍，故由直线方程和椭圆方程合成的方程组中，消去x得关于y的一元二次方程，一定式子比较简单、运算比较方便。②求出xA=0或yA=2=yp后，便知△PAB又是直角三角形（?APB为直角），故其面积可用∣PA∣2计算，而不必先求P到AB的距离d、再用∣AB∣·d计算。③注意点P的坐标为（-3,2），而椭圆的方程中，也有b=2，故可猜想点A（0,2）；再令xB=-3,得B（-3,-1），果然有kAB=1,于是△PAB又是直角三角形……·妙解·解法1：设l：x=y–2n①,PD⊥AB于D∣AD∣=∣BD∣.①代入G：y2-ny+n2
5、-3=02yD=yA+yB=n，且lPD：x+y+1=0②.①②yD= n-=n=1y2-y-2=0yA=2=ypPA∥x轴PB∥y轴S△PAB=∣PA∣2=.解法2：椭圆G的上端点为C（0,2）PC⊥y轴，∣PC∣=3.作PD⊥x轴，且使∣PD∣=3D（-3,-1）在G上.家教平北京家教上海家教找家教上阳光家教网全国最大台kCD=1AB与CD重合S△PAB=S△PCD=.【评注】①有关平面解析几何的命题，经常会出现一次方程和二次方程合成的方程组。如果x2的系数大于y2的系数（指绝对值），就要消去y得关于x的一元二次方程；否则便反之……②
6、三角形的面积公式，除了底×高，还有其他形式；即使采用“底×高”，也要适当地选取“底”和“高”——特别是遇到直角三角形时，更要注意选取的适当、得当、恰当。③观察命题条件的特点，分析命题结论的要求，揣测命题内含的本意，可能出现“意想不到”的“拍案惊奇”，收获“喜出望外”的“信手拈来”。2.（理19）已知椭圆.过点（m,0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆于A，B两点.（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）将表示为m的函数，并求的最大值.【参考答案】（1）……焦点坐标为，离心率为.（2）由题意知，∣m∣≥1.当时，切线l的方程为，点A、B的坐
7、标分别为此时.当m=－1时，同理可得.当∣m∣＞1时，设切线l的方程为由.家教平北京家教上海家教找家教上阳光家教网全国最大台设A、B两点的坐标分别为，则.又由l与圆所以=由于当时，所以.因为∣AB∣==≤2.且当时，
8、AB
9、=2，所以
10、AB
11、的最大值为2.·巧思·①将直线l的方程设为x=ty+m型（l与y轴不垂直），可避免对其位置的分类讨论，且式子比y=k（x-m）简单。②由直线方程和椭圆方程消去x，得到关于y的一元二次方程，同样可以解决问题，并且式子比较简单、容易运算。③利用“x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两个根∣x1-x2∣=
12、”，可以避免求出两根之和、两根之积以及繁琐的运算。·妙解·（2）由题可设l：x=ty+m=1m2=t2+1.家教平北京家教上海家教找家教上阳光家教网全国最大台由l、G（ty+m）2+4y2=4（t2+4）y2+2tmy+m2-4=0⊿=4t2m2-4（t2+4）（m2-4）=64-16（m2-t2）=48∣AB∣=·∣yA-yB∣=·= =≤2∣m∣=时，∣AB∣max=2.【评注】①直线方程的待定式，既可设为y=f（x）型，也可设为x=g（y）型——由于“习惯作用”，我们通常只想到采用前者而忽略了采用后者。②含有二元一次方程
13、和二元二次方程（不含一次项）的方程组中，未知数x和y的“地位”是“平等”的：既可消去y得关于x的一元二次方程，也可消去x得关于y的一元二次方程——由于“习惯作用”，我们通常只想到采用前者而忽略了采用后者。③“习惯作用”实质是“思维定势”。考虑问题不能受“思维定势”的影响，解决问题不能受“思维定势”的影响，而要“因地制宜”、“随机应变”！3.（文20）若数列An：a1，a2,…，an（n≥2）满足∣ak+1-ak∣=1（k=1,2,…,n-1），则称数列An为E数列，记S（An）=a1+a2,+…+an.（1）写出一个E数列An满足a1=a
14、3=0；（2）若，n=2000，证明：E数列An是递增数列的充要条件是=2011；（3）在a1 =4的E数列An中，求使得S（An）=0成立的n的最小值.【参考答案】（1）……（2）必
