弹性力学考试复习答案

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1、《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分1.最小势能原理等价于弹性力学基本方程屮：平衡微分力‘程，应力边界条件。2.一组可能的应力分量应满;lb平衡微分方程,相容方程（变形协调条件）。3.等截面直杆扭转问题中，2[^#办=从的物理意义是杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩Mo4.平而问题的应力函数解法屮，Airy应力函数p在边界上值的物理意义为边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩。5.弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：二、简述题（每小题6分）1.试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。圣维南原理：如果物体的

2、•小部分边界上的面力变换力分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。2.图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数识的分离变量形式。题二（2）图(a)jP(x，J")=+bxy+cy2j(p(x,y)=ax3+bx2ycxy2+dy3(b)=3.图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P，板的儿何尺寸如图，材料的弹性模量E、泊松比//己知。试求薄板而积的改变SA5。题二（3

3、）阁设当各边界受均布压力6/吋，两力作用点的相对位移为A/。由—A）?得,EA/=eda2+b2=£^ZZH（i_a）E设板在力P作用下的面积改变为A5,由功的互等定理有：q-S=PM将△/代入得：AS=^~Pja2+b2E显然，AS与板的形状无关，仅与£、//、/有关。1.图示曲杆，在r=边界上作用有均布拉应力…在自由端作用有水平集中力P。试写出其边界条件（除固定端外）。(2)=0，^L=a=0(3)fC7edr=-Pcos^JTrOdr=Psin^f（Jordr-一尸cos汐625.试简述拉甫（Love）位移函数法、伽辽金（Galerkin）位移函数法求解空间弹性力学

4、问题的基本思想，并指出各自的适用性Love、Galerkin位穆函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：（1）变求多个位移函数w（x，y），v（x，y），w（x，y）^ur{r,6ue（r,d）为求一些特殊函数，如调和函数、重调和函数。（2）变求多个函数为求单个函数（特殊函数）。适用性：Love位移函数法适用于求解轴对称的空间问题；Galerkin位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。三、计算题1.图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为6/的集中力作用，单位宽度上集屮力的值力P，设间距很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适川范围。（提示：取应力函数力（p=Asin

5、23^-B0）（13分）题三（1）图解：很小，•••M=Pd，可近似视为半平面体边界受一集屮力偶M的情形将应力函数识（r,的代入，可求得应力分呈：…4婺+少y=-4她紙_d2(P_=(2^4cos23+B)边界条件:(1)(7沒卜=0=0，汐卜=o=0;(Jeo^=0，=0?关0t^Or^Q?关0代入应力分量式，有-L(2^+5)=0或2A+B=Q(1)厂一(2)取一半径为〃的半圆为脱离体，边界上受有：Ot.,Tre,和由该脱离体的平衡，得2将代入并积分，有(2/fcos2汐+B)Pd0+M=0Asm23^B^y+M=0得Btt+M={)(2)联立式(1)、(2)求得:

6、M_Pd_Pd_2/r代入应力分量式，得<7.2^平〜=o;71rre2Pdsin2371.2结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远处可适用。2.图示悬臂梁，受三角形分布裁荷作用，若梁的正应力由材料力学公式给出，试由平衡微分方程求出Txy,<7,，并检验该应力分S能否满足应力表示的相容方程。(12分)题三（2）图（1）求横截面上正应力壬意截面的弯矩为M61截面惯性矩为/=#，由材料力学计算公式有竿=-乓AJlh31)（2）由平衡微分方程求rxv、ex,平衡微分方程.•警+安dr^d(J(2)yx+—^+Y=0(3)其中，z=o，

7、y=o。将式（i）代入式（2），有〜_6仏)2wy积分上式，得In利用边界条件.•rAT=o，有4/AX2/?2+./;(x)=0B

8、j7i(x)=-^rx2h241h3将式（4）代入式（3）,有6^01/7d(Ty6^0//产24的积分得奢O+AW利用边界条件:(J=0得：況的"相=->X-金的+/2(x)=0由第二式，得/2(X)=-晉X将其代入第一式，得_^oY_^or-_io21X21I0然成立将/2以）代入C7V的表达式，有(5)所求应力分量的结果:My~T校核梁端部的边界条件：（1）梁左端的边界（x=0