数学建模完成版

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1、东北师范大学本科生2014年下半学期期末作业题目数学建模论文课程名称数学建模姓名高立东学号2012012236专业数学与应用数学年级2012级院、所数学与统计学院年月日11/2/2016选题A1B12C12（一）布条缠绕管道问题问题描述用宽W的布条缠绕直径d的阏形管道，要求布条不重不裁剪，问布条与管道轴线的夹角a应多大，若知道管道长度需多长布条？问题分析这是一个实际I'nJ题，我们可以自制一个纸条代替布条做一个实验。找一根长度固定圆柱体比如粗细比较均匀的笔筒把纸条缠在上面。我们发现在不使纸条发生褶皱的情况下纸条要么能完全覆盖住笔筒，要么不能完全覆盖笔简。即如图所示两种情

2、况（图例一）对于以上两种情况我们可以对缠绕时的角度变化做一个细致的分析当角度a比较小吋会出现下面的情况这时A和B不重合我们缠绕

3、员

4、柱体时会出现图例一中的第一种情况，纸条最终不能完全覆盖住圆柱体。于是我们调整角度a，发现当A和B重合于M时纸条才能完全覆盖住圆柱体。M因此可以考虑到当纸条宽度和圆柱体的直径固定时只有当a为一个特定的角度时才能使纸条完全覆盖住圆柱体。建立模型设布条宽度为w圆柱体直径为d,现在来找出a与W和d之间的关系。于是将绕在柱体上的那部分展开可得到下图为一个平行叫边形。得至llw=irdcosaw，若w布条宽度趋于零可见a趋于f。都如上图所irdl=OW

5、若管道长为I将绕在柱体上面的布条展开，其每一示那么布条的面的为S=TTdl,那么可得纸条的长度为S/W模型应用对于缠绕布条的问题通过模型会发现不管柱体形状如何只要粗细均匀，我们用如上模型可以把绕在柱体上的每一圈都可展开为相同的一个平行四边形相应的平行四边形的高为柱体的周长iid。相应的可计算出布条的长和角度a，只需把原来公式中柱体的直径替换为现存柱体的直径得至llw=irdcosaw，若w布条宽度趋于零可见a趋于f。都如上图所irdl=OW若管道长为I将绕在柱体上面的布条展开，其每一示那么布条的面的为S=TTdl,那么可得纸条的长度为S/W模型应用对于缠绕布条的问题通过

6、模型会发现不管柱体形状如何只要粗细均匀，我们用如上模型可以把绕在柱体上的每一圈都可展开为相同的一个平行四边形相应的平行四边形的高为柱体的周长iid。相应的可计算出布条的长和角度a，只需把原来公式中柱体的直径替换为现存柱体的直径（二）保姆问题问题提出一家保姆服务公司专门向辅助提供保姆服务。根据佔计，下一年的需求是：春6000人円，夏季7500人日，秋季5500人R，冬季9000人日。公司13C类题目2新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天。保姆从该公司而不是雇主那里得到报酬，每人每刀工资800元。春季开始时公司拥有120名保姆，

7、在每个季度结朿后，将有15%保姆自动离职。（1）如果公司不允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划？（2）如果公司在每个季度结束后允许解雇最多5%保姆，请为公司制定下一年的招聘计划。问题（1）模型分析公司为了利益最大化要在满足每季度保证保姆的需求量的同时保证招的保姆数量尽可能的少，于是我们可以建立一个规划的模型使得保姆数量为目标函数。每个季度会有15%的保姆辞职，公司为了保证需求量还会招进一定数量的保姆。于是我们可以设4个季度开始时保姆数量为Si、S2、S3、S4,公司招在4个季度分别招进來的保姆数量为Xi、x2、x3、x4。要使得0标函数s1+s2+s3+s4最小

8、，于是我们可以建立以下模型。模型建立IM标函数：S!+S2+S3+S4三个季度要在保姆（包括新招进公司的保姆）工作65天的情况卜*要达到规定的工作量所以有：65Si>6000+5Xi65S2>7500+5X265S3>5500+5X365S4>9000+5X4且:Si=12O+Xi>S2=0.85Si+X2、S3=O.85S2+X3、S4=0.85S3+X4;Si、S2、S3、S4、Xi、X2、X3、X4〉〉0接下来用LINGO软件进行求解min=Sl+S2+S3+S4;65*Sl>=6000+5*xl;65*S2>=7500+5*x2;65*S3>=5500+5*x3

9、;65*S4>=9000+5*x4;Sl=120+xl;S2=0.85*Sl+x2;S3=0.85*S2+x3;S4=0.85*S3+x4;Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:478.5107Totalsolveriterations:1Variable51525354Value120.0000116.500099.02500142.9857ReducedCost0.0000000.0000000.0000000.000000XI0.0000000.8732231X214.500000.00