[理学]微积分 高数

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1、第八节多元函数的极值一、二元函数的极值(1)(2)例1例２例３在1,3象限的值为正;在2,4象限的值为负;而在坐标轴上的值为0.1yozx1z=xy证仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的点,均称为函数的驻点（稳定点）.驻点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注：例4求函数f(x,y)=x3–y3+3x2+3y2－9x的极值.解先解方程组求得驻点:(1,0),(1,2),(－3,0),(－3,2).再求二阶偏导数在点(1,0):AC–B2=12×6>0,A=12>0,f(x,y)在点(1,

2、0)有极小值f(1,0)=–5.在点(1,2):AC–B2=12×(–6)<0,f(x,y)在点(1,2)不取极值;在点(–3,2):AC–B2=–12×(–6)>0,A=–12<0,f(x,y)在点(–3,2)有极大值f(–3,2)=31.在点(–3,0):AC–B2=–12×6<0,f(x,y)在点(–3,0)不取极值;方法：(1)求函数在D内的所有驻点及不可导处的函数值;(2)求在D的边界上的最大值和最小值;(3)比较上面的数值，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们

3、可以求有界闭区域上连续的二元函数的最大值和最小值.二、连续二元函数在有界闭区域内的最值解为求准确,我们严格地给出一种条件极值的定义.三、条件极值—拉格朗日乘数法注:(1)为求条件极值点,先求其拉格朗日函数的驻点,去掉最后一个坐标即可;(2)上述方法得到的点没实用的方法判别其为极大值点是极小值点,一般都由问题的实际意义(物理意义和几何意义等)来判别.解则另一方面,由问题的实际意义知u=4×4×4=64为所求.解抛物面被平面截成一个椭圆.求这个椭圆到原点的最长与最短距离.解这个问题实际上就是要求目标函

4、数在条件及下的最大,最小值问题.应用拉格朗日乘数法,令：例9对L求一阶偏导数,并令它们都等于0,则有求解这个方程组得由于所求问题存在最大最小值,故由椭圆到原点的最长距离为最短距离为关于应用的习题(元).解得件，件，故惟一驻点(25,17)也是最小值点，它使成本为最小，最小成本为