[工学]第四章 杆单元和梁单元

《[工学]第四章 杆单元和梁单元》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第4章杆单元和梁单元本章主要介绍利用杆单元及梁单元进行结构静力学的有限元分析原理。首先介绍了杆单元的分析方法，详细给出了采用杆单元进行有限元分析的整个过程；紧接着介绍了平面梁单元，以一个平面悬臂梁力学模型为分析实例，分别采用材料力学、弹性力学解析计算以及有限元法进行了分析与求解，以加深读者对有限元法的理解。4.1杆件系统的有限元分析方法杆件只承受轴向力，可以视为一种特殊的梁单元，本节将采用有限元法来分析杆件系统，以下给出规范的有限元法中关于杆单元的推导过程，以及整个杆系的求解过程。如图4-1所示的杆件结构，左端铰支，右端作用一个集中力，相

2、关参数如图。具体求解过程如下：图4-1杆件结构（1）确定坐标系、单元离散，确定位移变量,外载荷及边界条件。4.1杆件系统的有限元分析方法要建立两种坐标系：单元坐标系（局部坐标系）、整体坐标系。根据自然离散,坐标系建立成一维,单元划分为两个,给出相应的节点1、2、3以及相应的坐标值（见图4-1）。在局部坐标系中，取杆单元的左端点为坐标原点，图4-2为任取的一个杆单元。图4-2杆单元对于两个节点的杆单元，存在如下节点力和节点位移的关系式(4.1)其中，称为单元刚度矩阵4.1杆件系统的有限元分析方法（2）确定位移模式假设单元位移场：取其线性部分

3、，系数、可由节点位移、确定，称为位移插值模式（interpolationmodel）.(4.2)（3）形函数矩阵的推导由单元的节点条件,两个节点坐标为x1、x2,两个节点位移为，，代入上式插值模式公式得：求解得到4.1杆件系统的有限元分析方法这样，可以写成如下矩阵形式导出=(4.3)得到形函数矩阵（shapefunctionmatrix）(4.4)记节点位移矢量(nodaldisplacementvector)是(4.5)4.1杆件系统的有限元分析方法因此，用形函数矩阵表达的单元内任一点的位移函数是(4.6)（4）应变由弹性力学的几何方程

4、知1维杆单元满足(4.7)（5）应力由弹性力学的物理方程知：(4.8)（6）利用最小势能原理导出单元刚度矩阵单元的势能表达式：4.1杆件系统的有限元分析方法上式记作如下矩阵形式：(4.9)其中，单元刚度矩阵（elementstiffnessmatrix），或称单元特性矩阵(elementcharacteristicmatrix)(4.10)4.1杆件系统的有限元分析方法根据最小势能原理，，得(4.11)其中节点载荷矩阵为（7）把所有单元按结构形状进行组集（assemblyofdiscreteelements）对于图4.1所示结构第一个单元

5、：4.1杆件系统的有限元分析方法整体结构的总势能是所有单元的势能的和，即第二个单元：在这里，把表达成整体位移矢量的函数，如下：4.1杆件系统的有限元分析方法可记作(4.12)上式的即为整体刚度矩阵。即根据最小势能原理，由各单元刚度矩阵求出的整体刚度矩阵。下式是由整体刚度矩阵表达的系统方程：(4.13)4.1杆件系统的有限元分析方法（8）引入边界条件（Treatmentofboundaryconditions）为获取许可位移场，需引入边界条件(4.14)由于，可划去它所对应的行和列，这样基于许可位移场的系统总势能为4.1杆件系统的有限元分析

6、方法（9）建立系统弹性方程由最小势能原理，势能函数对未知位移求变分，满足的条件是，得如下方程式=(4.15)（10）求解节点位移由上式方程可以直接求解得到,注意到R2是内力，不做功。在求解过程中，可以视为0。也就是4.1杆件系统的有限元分析方法（11）求单元应变（4.16）=（4.17）（12）各单元应力利用物理方程，求单元的应力（4.18）4.1杆件系统的有限元分析方法（13）各支点反力各支反力公式是由单元最小势能原理得到的，即（4.19）为了清楚起见,将上述两杆结构代入具体数值：，，，，进行相应的单元应力计算。得到的结果如下：=4

7、.2.1平面悬臂梁问题的解析分析作为对照，先用经典材料力学法和弹性力学法对平面悬臂梁进行分析求解。（1）平面悬臂梁的材料力学求解：一端受载荷作用的悬臂梁如图4-6（a）所示，选取坐标系如图4-6(b)，任意横截面上的弯矩为(a)结构示意图(b)力学模型图4-4平面悬臂梁力学模型（4.20）4.2.1平面悬臂梁问题的解析分析受载荷作用后梁产生变形，在xy平面内梁的轴线将变成一条曲线，即挠曲线。根据材料力学有关假设，梁弯曲的挠曲线的近似微分方程为（4.21）由这两个公式可得挠曲线的微分方程为积分得（4.22）4.2.1平面悬臂梁问题的解析分析

8、引入边界条件，左侧固定端A处的转角和挠度均等于零，即当X=0时，（4.23）把边界条件式代入式（4.22），得再将所得积分常数C和D代回前式，得转角方程和挠曲线方程分别为（4.24）4.2.1