杆单元和梁单元.ppt

《杆单元和梁单元.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第五章杆单元和梁单元第5章杆单元和梁单元本章主要介绍利用杆单元及梁单元进行结构静力学的有限元分析原理。首先介绍了杆单元的分析方法，详细给出了采用杆单元进行有限元分析的整个过程；紧接着介绍了平面梁单元，以一个平面悬臂梁力学模型为分析实例，分别采用材料力学、弹性力学解析计算以及有限元法进行了分析与求解，以加深读者对有限元法的理解。杆单元-桁架结构梁单元-轴系，转子动力学5.1杆件系统的有限元分析方法一般情况下，认为杆件只承受轴向力，只有一个方向的受力和相应的变形。本节将采用有限元法来分析杆件系统，以下给出规范的有限元法中关于杆单元的推导过程，以及整个杆系的求解过程。如图

2、5-1所示的杆件结构，左端铰支，右端作用一个集中力，相关参数如图。具体求解过程如下：图5-1杆件结构–待求解的问题（1）确定坐标系、单元离散，确定位移变量,外载荷及边界条件。5.1.1.一维杆单元——材料力学可轻易求解5.1.1一维杆单元要建立两种坐标系：单元坐标系（局部坐标系）、整体坐标系。根据自然离散,坐标系建立成一维,单元划分为两个,给出相应的节点1、2、3以及相应的坐标值（见图5-1）。在局部坐标系中，取杆单元的左端点为坐标原点，图5-2为任取的一个杆单元。图5-2杆单元对于两个节点的杆单元，存在如下节点力和节点位移的关系式(5.1)其中，称为单元刚度矩阵5

3、.1.1一维杆单元（2）确定位移模式假设单元位移场：取其线性部分，系数、可由节点位移、确定，称为位移插值模式（interpolationmodel）.(5.2)（3）形函数矩阵的推导由单元的节点条件,两个节点坐标为x1、x2,两个节点位移为，，代入上式插值模式公式得：求解得到5.1.1一维杆单元这样，可以写成如下矩阵形式导出=(5.3)得到形函数矩阵（shapefunctionmatrix）(5.4)记节点位移矢量(nodaldisplacementvector)是(5.5)5.1.1一维杆单元因此，用形函数矩阵表达的单元内任一点的位移函数是(5.6)（4）应变由弹

4、性力学的几何方程知1维杆单元满足(5.7)（5）应力由弹性力学的物理方程知：(5.8)（6）利用最小势能原理导出单元刚度矩阵单元的势能表达式：B为应变矩阵（常应变）。S为应力矩阵（常应力）。5.1.1一维杆单元上式记作如下矩阵形式：(5.9)根据最小势能原理，可以得到，(5.10)5.1.1一维杆单元（7）把所有单元按结构形状进行组集（assemblyofdiscreteelements）对于图5.1所示结构第一个单元：其中，单元刚度矩阵（elementstiffnessmatrix），或称单元特性矩阵(elementcharacteristicmatrix)(5.

5、11)5.1.1一维杆单元整体结构的总势能是所有单元的势能的和，即第二个单元：在这里，把表达成整体位移矢量的函数，如下：5.1杆件系统的有限元分析方法可记作(5.12)上式的即为整体刚度矩阵。即根据最小势能原理，由各单元刚度矩阵求出的整体刚度矩阵。下式是由整体刚度矩阵表达的系统方程：(5.13)5.1杆件系统的有限元分析方法（8）引入边界条件（Treatmentofboundaryconditions）为获取许可位移场，需引入边界条件(5.14)由于，可划去它所对应的行和列，这样基于许可位移场的系统总势能为5.1.1一维杆单元由最小势能原理，势能函数对未知位移求变分

6、，满足的条件是，得如下方程式=（9）求解节点位移由上式方程可以直接求解得到,注意到R2是内力，不做功。在求解过程中，可以视为0。也就是(5.15)5.1.1一维杆单元（10）求单元应变（5.16）（5.17）（11）各单元应力利用物理方程，求单元的应力（5.18）5.1.1一维杆单元（12）各支点反力各支反力公式是由单元最小势能原理得到的，即（5.19）为了清楚起见,将上述两杆结构代入具体数值：，，，，进行相应的单元应力计算。得到的结果如下：=这里从坐标变换的角度出发来说明平面杆单元的建立方法。从势能的角度，杆单元的势能不会因坐标系变换而产生能量的变化。如图5-

7、3所示，局部坐标系中杆单元1维位移和，可以投影到整体坐标系中变成，两个节点的坐标变为图5-2局部坐标与整体坐标的变换5.1杆件系统的有限元分析方法5.1.2平面杆单元整体坐标系下的位移和局部坐标系下的位移的变换关系为（5.20）式中，坐标变换矩阵为（5.21）5.1.2平面杆单元因此，平面杆单元节点位移矢量的变换关系记为（5.22）单元势能是一个标量，不会因坐标系的不同而改变。导出整体坐标系下的单元势能函数：（5.23）从上式我们可以导出在整体坐标下平面杆单元的刚度矩阵（5.24）5.1.2平面杆单元具本而言，在转换矩阵中，有（5.25）式中为单元的长度，。这里