高中数学第二章数列2.3.2等比数列的前n项和学案新人教b版必修5

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1、2.3.2　等比数列的前n项和1．理解等比数列的前n项和公式的推导过程．2．掌握等比数列的前n项和公式，并能用它解决有关等比数列问题．1．等比数列的前n项和公式已知量首项、公比与项数首项、末项与公比选用公式(1)在求等比数列{an}的前n项和公式时，应分q＝1和q≠1两种情况，若题目中没有指明，切不可忘记对q＝1这一情形的讨论．(2)等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量，即a1，an，q，n，Sn，通常已知其中三个量可求另外两个量，这一方法简称为“知三求二”．【做一做1－1】在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为(　　)．A．4　　　B．－4C．2D．－2【

2、做一做1－2】在等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为(　　)．A．81B．120C．168D．1922．等比数列前n项和的常用性质性质(1)：在等比数列{an}中，若Sn为其前n项和，则依次每k项的和构成等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k，…成等比数列，其公比为________．性质(2)：在等比数列{an}中，若项数为2n项，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则＝____.性质(3)：数列{an}是公比为q的等比数列，则Sm＋n＝Sn＋__________.【做一做2】已知等比数列{an}，Sn是其前n项和，且S3＝

3、7，S6＝63，则S9＝________.一、错位相减法的实质及应用剖析：(1)用错位相减法求等比数列前n项和的实质是把等式两边同乘等比数列的公比q，得一新的等式，错位相减求出Sn－qSn，这样可以消去大量的“中间项”，从而能求出Sn.当q＝1时，Sn＝na1，当q≠1时，Sn＝.这是分段函数的形式，分段的界限是q＝1.(2)对于形如{xn·yn}的数列的和，其中{xn}为等差数列，{yn}为等比数列，也可以用错位相减法求和．错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题．(3)利用这种方法时，要注意对公比的分类讨论．6二、等比数列的前n项和公式的推导(首项为a1，公比q≠

4、1)剖析：除了书上用到的错位相减法之外，还有以下方法可以求等比数列的前n项和．(1)等比性质法∵＝＝＝…＝＝q，∴＝q，即＝q，解得Sn＝＝.(2)裂项相消法Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－＝.(3)拆项法Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＝a1＋q(a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2)＝a1＋q(a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1－a1qn－1)，∴Sn＝a1＋q(Sn－a1qn－1)＝a1＋q(Sn－an)．解得Sn＝＝.三、教材中的“？

5、”例2中，有别的解法吗？将这个数列的前8项倒过来排，试一试．剖析：∵S8＝27＋26＋25＋…＋2＋1，∴S8＝1＋2＋22＋…＋26＋27＝＝28－1＝255.此题说明了在一个等比数列{an}中，若为有限项，如a1，a2，…，an，则an，an－1，…，a2，a1也是等比数列，其公比为原数列公比的倒数．题型一等比数列的前n项和公式的应用【例1】在等比数列{an}中，(1)已知a1＝3，q＝2，求a6，S6；(2)已知a1＝－1，a4＝64，求q和S4；(3)已知a3＝，S3＝，求a1，q.分析：在等比数列的前n项和公式中有五个基本量a1，an，q，n，Sn，只要已知任意三个，就可以求出

6、其他两个．反思：在等比数列{an}中，首项a1与公比q是两个最基本的元素；有关等比数列的问题，均可化成关于a1，q的方程或方程组求解．解题过程中，要注意：(1)选择适当的公式；(2)利用等比数列的有关性质；(3)注意在使用等比数列前n项和公式时，要考虑q是否等于1.6题型二等比数列的前n项和的性质的应用【例2】在各项均为正数的等比数列{an}中，若S10＝10，S20＝30，求S30.分析：可以利用解方程组解决，也可以利用等比数列的前n项和的性质来解决．反思：由于等比数列中，无论是通项公式还是前n项和公式，均与q的若干次幂有关，所以在解决等比数列问题时，经常出现高次方程，为达到降幂的目的

7、，在解方程组时经常利用两式相除，达到整体消元的目的．题型三某些特殊数列的求和【例3】(1)已知数列{an}的通项公式an＝2n＋n，求该数列的前n项和Sn；(2)已知数列{an}的通项公式an＝n·2n，求该数列的前n项和Sn.分析：(1)所给数列虽然不是等差数列或等比数列，但在求该数列的前n项和时可以把an看成一个等比数列和一个等差数列的和的形式，分别求和，再相加．(2)写出数列的前n项和，注意其与等比数列形式类似，考虑用推导等比