2018版高中数学 第二章 数列 2.3.2 等比数列的前n项和（二）学案 新人教b版必修5

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1、2.3.2等比数列的前n项和(二)学习目标1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.2.会用错位相减法求和．知识点一等比数列前n项和公式的函数特征n思考若数列{an}的前n项和Sn＝2－1，那么数列{an}是不是等比数列？若数列{an}的前nn＋1项和Sn＝2－1呢？a1n梳理当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(q－1)．q－1当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数．知识点二等比数列前n项和的性质思考若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，

2、S3n－S2n成等比数列吗？梳理等比数列{an}前n项和的三个常用性质(1)数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．n(2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qSm(n，m∈N＋)．(3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其S偶前2n项中，＝q；S奇②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋a1＋a2n＋1qa1＋a2n＋2…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)．1－－

3、q1＋q知识点三错位相减法思考在上一节，我们是如何求公比不为1的等比数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an的？梳理如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，一般使用如下方法：Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，①qSn＝a1b1q＋a2b2q＋…＋anbnq＝a1b2＋a2b3＋…＋anbn＋1，②①－②得(1－q)Sn＝a1b1＋(a2－a1)b2＋(a3－a2)b3＋…＋(an－an－1)bn－anbn＋1＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1n

4、－1b21－q＝a1b1＋d－anbn＋1，1－qn－1a1b1－anbn＋1b21－q∴Sn＝＋d.21－q1－q上述方法称为“错位相减法”．类型一等比数列前n项和公式的函数特征应用n例1已知数列{an}的前n项和Sn＝a－1(a是不为零且不等于1的常数)，则数列{an}()A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．是等差数列或等比数列D．既非等差数列，也非等比数列S1，n＝1，反思与感悟(1)已知Sn，通过an＝求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1，n≥2Sn－Sn－1.n(2)若数列{an}的前

5、n项和Sn＝A(q－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列．n－1跟踪训练1若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3＋t，则t＝________.类型二等比数列前n项和的性质命题角度1连续n项之和问题22例2已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：Sn＋S2n＝Sn(S2n＋S3n)．反思与感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法：(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．(

6、2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质．跟踪训练2在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.命题角度2不连续n项之和问题1a1＋a3＋a5＋a7例3已知等比数列{an}的公比q＝－，则等于()3a2＋a4＋a6＋a81A．－3B．－31C．3D.3反思与感悟注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题解决过程变得简洁明快．跟踪训练3设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba1＋ba2＋ba3＋…＋ba6＝________.类型三

7、错位相减法求和n例4求数列{}的前n项和．n2反思与感悟一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法．23n跟踪训练4求和：Sn＝x＋2x＋3x＋…＋nx(x≠0)．1．一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则最底层所点灯的盏数是()A．190B．191C．192D．193n－112．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3－，则x的值为()611A.B．－3311C.D．－223．一个等比数列的前7项和为48，前14

8、项和为60，则前21项和为()A．180B．108C．75D．63n4．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3＋k，则实数k＝________.1．在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断．2．等比数列前n项和中用到的数学思想：(1)分类讨论思想：利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情