高考数学大一轮复习9.7抛物线学案理苏教版

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1、学案51　抛物线导学目标：1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．自主梳理1．抛物线的概念平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点F(，0)F(－，0)F(0，)F(0，

2、－)离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下自我检测1．(2010·四川)抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是________．2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为________．3．(2011·陕西改编)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是________．4．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则

3、

4、＋

5、

6、＋

7、

8、＝________.5．(2010·佛山模拟)已知抛物线

9、方程为y2＝2px(p>0)，过该抛物线焦点F且不与x轴垂直的直线AB交抛物线于A、B两点，过点A、点B分别作AM、BN垂直于抛物线的准线，分别交准线于M、N两点，那么∠MFN＝________.11探究点一　抛物线的定义及应用例1　已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求PA＋PF的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．变式迁移1　已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为________．探究点二　求抛物线的标准方程例2　已知抛物线

10、的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．变式迁移2　根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点F是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；(2)过点P(2，－4)．探究点三　抛物线的几何性质例3　过抛物线y2＝2px的焦点F的直线和抛物线相交于A，B两点，如图所示．(1)若A，B的纵坐标分别为y1，y2，求证：y1y2＝－p2；(2)若直线AO与抛物线的准线相交于点C，求证：BC∥x轴．11变式迁移3　已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A

11、(x1，y1)，B(x2，y2)．求证：(1)x1x2＝；(2)＋为定值．分类讨论思想例　(14分)过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线交抛物线于A、B两点，过B点作其准线的垂线，垂足为D，设O为坐标原点，问：是否存在实数λ，使＝λ？多角度审题　这是一道探索存在性问题，应先假设存在，设出A、B两点坐标，从而得到D点坐标，再设出直线AB的方程，利用方程组和向量条件求出λ.【答题模板】解　假设存在实数λ，使＝λ.抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则F，准线l：x＝－，[2分](1)当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，交点A、B坐标不

12、妨设为：A，B.∵BD⊥l，∴D，11∴＝，＝，∴存在λ＝1使＝λ.[6分](2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(k≠0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D，x1＝，x2＝，由　得ky2－2py－kp2＝0，∴y1y2＝－p2，∴y2＝，[8分]＝(－x1，－y1)＝，＝＝，假设存在实数λ，使＝λ，则，解得λ＝，∴存在实数λ＝，使＝λ.综上所述，存在实数λ，使＝λ.[14分]【突破思维障碍】由抛物线方程得其焦点坐标和准线方程，按斜率存在和不存在讨论，由直线方程和抛物线方程组成方程组，研究A、D两点坐标关系，求出和

13、的坐标，判断λ是否存在．【易错点剖析】解答本题易漏掉讨论直线AB的斜率不存在的情况，出现错误的原因是对直线的点斜式方程认识不足．1．关于抛物线的定义要注意点F不在定直线l上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线．2．关于抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的联系与区别在于：(1)p的几何意义：参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正数．(2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．3．关于抛物线的几何性质抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握，但由于抛物线

14、的离心率等于1，所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质，而且应用广泛．例如：已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，