高考数学大一轮复习2.3函数的奇偶性与周期性学案理苏教版

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1、学案6　函数的奇偶性与周期性导学目标：1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．自主梳理1．函数奇偶性的定义设函数y＝f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A，都有__________，则称f(x)为奇函数；如果对于任意的x∈A都有__________，则称f(x)为偶函数．2．奇偶函数的性质(1)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝____；f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)＝f(

2、x

3、)⇔f(x)－f(－x)＝____.(2)f(x)是

4、偶函数⇔f(x)的图象关于____轴对称；f(x)是奇函数⇔f(x)的图象关于______对称．(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有______的单调性．3．函数的周期性(1)定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x＋T)＝______，则称f(x)为______函数，其中T称作f(x)的周期．若T存在一个最小的正数，则称它为f(x)的________．(2)性质：①f(x＋T)＝f(x)常常写作f(x＋)＝f(x－)．②如果T是函数y＝f(x)的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是y

5、＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)．③若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－(a是常数且a≠0)，则f(x)是以______为一个周期的周期函数．自我检测1．已知函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值为________．2．如果定义域为[3－a,5]的函数f(x)为奇函数，那么实数a的值为________．3．(2009·江西改编)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[

6、0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2012)＋f(2011)＝________.4．设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.5．若函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，且f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围为___________．探究点一　函数奇偶性的判定例1　判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝(x＋1)；(2)f(x)＝x(＋)；9(3)f(x)＝log2(x＋)；(4)f(x)＝变式迁移1　判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x2－x3；(2)f(x)＝＋；(3)f(x)＝.探究点二　函

7、数单调性与奇偶性的综合应用例2　函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f[x(x－)]<0的解集．变式迁移2　已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________．探究点三　函数性质的综合应用例3　(2009·山东)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝____

8、____.变式迁移3　定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则下列说法中正确的是________(填序号)．①在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数；②在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数；③在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数；④在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数．转化与化归思想例　(14分)函数f(x)的定义域为D＝{x

9、x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x

10、2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．【答题模板】解　(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.[2分](2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0.[4分]9令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．[6分](

11、3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3，[8分]∵f(3x＋1)＋f(