波色系统波色爱因斯坦凝聚

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1、第五章波色系统：波色-爱因斯坦凝聚5.1理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚回忆我们在前面获得的理想波色气体的物态方程：这里比容v=V/N,平均热波长。易逸度z的定义为，其中μ为化学势。对波色气体，我们有：，由定义知显然成立；可由动量为0的态的平均占据数确定。函数一般地由下式确定：当z取0至1的值时，是z的正的单调递增有界函数（注意在费米系统里z可取任意大于0的值）。对于n>1有这是黎曼Zeta函数。当，发散。产生凝聚的条件：把比容的方程改写为：凝聚要求当时，这必然成立（因是增函数）。这样系统可看作两个热力学“相”的混合，一

2、个相由动量为零的粒子组成，令一个由动量不为零的粒子组成。分割面方程由确定，由此可得临界温度和临界比容(固定温度T时):当（v一定）或（T一定）时，将产生波色-爱因斯坦凝聚。即低温和高密度是产生波色-爱因斯坦凝聚的条件，有凝聚时粒子的平均热波长与粒子平均间距有相同的数量级。大V极限下的易逸度z：对宏观系统来说我们更关心体积V趋于无穷大的极限情形。由我们可反解出z:。因此在大V极限下我们有：填布数与温度和比容的关系（大V极限下）：利用和上面的结果可得：粒子在动量空间里凝聚。T=0时所有粒子都占据p=0态。物态方程：压强方程中的

3、第二项可忽略，因，它最多是的量级，对大系统可忽略。因此物态方程为物态方程在连续，但其导数不连续，因此相变为一级相变。其它热力学量：应分为两段讨论，如内能：熵：定容比热：在T=0附近我们有，这与光子和声子的行为不同，原因是它们的能谱不同。而在处比热是连续的（因发散），比热的导数不连续。5.2非理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚考虑N个无自旋波色粒子组成的稀薄气体系统，体积为V，系统处于低温且相互作用为二体碰撞。在一级近似下，系统哈密顿量为：这里我们把势能项看作微扰。设无微扰波函数（自由粒子系统波函数）为其中为单粒子态中粒子的

4、填布数。在一级近似下，系统能量为：成立条件为k为一对粒子的相对波矢，a是散射长度。即粒子只能激发到动量较小的态。上面最后一个等式的推导见杨展如书93-95页。在基态，我们让，而其它所有为零，基态能量为：而低激发态能级同时含有连续谱和分立谱。在极低温度下，只有少量粒子激发，能量表达式可进一步近似为：下面我们要找到物态方程。我们考虑极低温的情况，即并用n代表，能量的动能部分记为，记，配分函数为：其中为理想波色气体的配分函数。是对理想波色气体的统计平均。每个粒子的自由能为：压强可由自由能得到：作近似后可得：这个相变是二级相变。5

5、.3波色-爱因斯坦凝聚实验的基本原理实验困难：大多数气体在极低温下不呈现气态。1995年：三个研究组用Rb,Na和Li蒸气在简谐磁陷阱中在极低温度下观察到了波色-爱因斯坦凝聚现象。实验的基本原理有两个：（1）多普勒致冷（动量空间的压缩）：恰当选取激光频率，这里是原子最低激发频率，可使得原子在多次吸收激光后，动量不断减小：原子接受迎面光子激发（有方向性，动量减小），再通过自发辐射退激发（无方向性）。（2）磁-光陷阱（坐标空间囚禁）：在磁场中原子激发态能级发生分裂，原子通过两束沿z轴相对运动的激光激发。激光频率小于原子无磁场时

6、的跃迁频率()。这样，不论在z>0还是z<0区域内只能吸收向坐标原点方向传播的激光，受到一个指向z=0点的辐射力F=-kz，这样原子处于一个辐射力造成的简谐势阱中。5.4简谐势阱中理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚详见杨展如书98-102页。5.5简谐势阱中非理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚温度很低时，原子的德布罗意波长（热波长）比原子相互作用程大很多，原子间的相互作用是很弱的完全被量子力学中讨论过的S-波散射所支配，因此我们只需考虑二体碰撞。S-波散射可以用散射长度a来表征，相互作用势可近似写为:因此在外界简谐势场中，

7、波色场算符满足（海森堡绘景，坐标表象）：这个方程可在平均场近似下求解。关键是把波色场算符分为凝聚部分和非凝聚部分(波戈留波夫近似)：均匀空间情形：理想波色气体的基态是所有粒子都处于单粒子的零动量态，其低激发态仍有量级为N的粒子占据零动量态，而的态的占据数很少。我们假定这对近理想波色气体仍然成立。令为动量为p的单粒子态的湮灭(产生)算符，我们有故这表明在这种近似下我们可以忽略的非对易性，把它们当作非算符的量（C数）。这样场算符可以写为两部分：推广到空间非均匀和与时间有关的情形，我们有：这里，是围绕平均值的量子和热涨落（一个小

8、量）。带入到上面的方程即得（GP方程）：用巨正则系综我们可以研究系统的平衡性质。凝聚部分的哈密顿量为：统计平衡时系统的的平均值有极小值，故有，从上式代入并解之得：5.6波色-爱因斯坦凝聚的序参量和判据序参量：描述连续相变（二级相变）特征（自发对称破缺）的参量。在相变点附近，它是唯一重要的热力学量。理想波