18数学归纳法与数列的应用

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1、数学归纳法与数列的应用一、知识回顾数学归纳法是一种证明与正整数n有关的数学命题的重要方法.1.用数学归纳法证明命题的步骤为：①验证当n取第一个值久时命题成立，这是推理的基础；②假设当n=k(Z:e时命题成立.在此假设下，证明当打=々+1时命题也成立是推理的依据.(2)结论.2.探索性问题在数学归纳法中的应川(思维方式)：观察，归纳，猜想，推理论证.3.特别注意:(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证H%时成立，注意H()不一定为1;(2)在第二步中，关键是要正确合理地运用归纳假设，尤其要弄清由k到k+1吋命题的变化4.用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项:(1)明确首取

2、伉a并验证真假。(必不可少)(2)“假设时命题正确”并写出命题形式。(3)分析“77=知1吋”命题是什么，并找岀与W时命题形式的差别。弄清左端应增加的项。(4)明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等二、例题解析概念理解：1.若/('?)A)12/?+1"EN*)，则当rt=l时，/(，?)为B)ic)1+2+3D)非以上答案-an+22.用数学归纳法证明1切切2+…切〃+1=—:一(f/^1,Z2[N*)，在验证A2=l成立时，1-a3.用数学归纳法证明左边计算所得的项是A)1B)i+aD)l+6f+dW-1+1-231..

3、.+•••+——(ne/V)，则从k到k+1时，左边应添2n11111—I1=142/7-12nh+1h+2加的项为A)2々+lB)2A+2~2Z:+4C)2^+2川2々+l2々+24.某个命题与自然数h有关，如果当A?4（Z：eN*）时，该命题成立，那么可推得当h=K1时命题也成立.现在己知当时，该命题不成立，那么可推得（A）当z?=6时该命题不成立；（B）当z?=6时该命题成立（C）当n=4时该命题不成立（D）当《=4时该命题成立5.k+3士=mKIJSk+,=A)Sk+12(/：+1)B)Sk+~2k+2~T+C)sk+112k+~2k+2D)Sk+2A+1+2

4、女+26.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，Z+/能被x+y整除”第二步的归纳假设应写成（）A.假设"=+/7*）正确，再推打=2々+3正确；B.^n=2k-（keAT）正确，再推n二2A+1正确;C.假设=/V*）正确，再推=A+l正确；D.假设77=1）正确，再推"=々+2正确.例1.用数学归纳法证明：34'1+2十52/1+

5、能被14整除（zzeTV'）。例2.己知么是数列的前n项和，an>0,（zigAO,且2么=an+（1）求出4,6Z2,6Z3,并猜测出通向公式；（2）用数学归纳法证明你的结论。:列的应用例3.某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划

6、从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.1）分别求2005年底和2006年底的住房面积；2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）巩固练习：1.2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2003年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化.1）设该县的总而积为1，2002年底绿化而积为经过年后绿化的而积为10试用礼表/J、-»2）求数列的第/汁1项如；3）至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%.（lg2=0.3010,lg3=

7、0.4771）2.近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快.2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%.以后四年中，年生产量的增松率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）.（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦.假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%）,这四年屮太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果

8、精确到0.1%）?例4.某企业2004年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降。若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第77年（今年为第一年）的利润为500（1+1）万元（n为正整数〉。T1）设从今年起的前〃年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为Ah万元，进行技术改造后的累汁纯利润为〜万元（须扣除技术改造资金），求A,,、B„的表达式；2）依预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后