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1、第二章1、一动点到两定点的距离的乘积等于定值,求此动点的轨迹(卡西尼卵形线).解:设两定点间距离为,两定点为和,设动点依题意:即:平方整理即得:2、求旋轮线的弧与直线的交点。解：将旋轮线方程代入直线得即，由，得，，将代入旋轮线方程便得交点为：与3、把下面的平面曲线的普通方程化为参数方程（1）（2）（3）解：（1）令，则，故。所以参数方程为（2）令，则。所以参数方程为（3）设，代入方程得.则或故（它包含的情形，因可取），4、一动点移动时，与及平面等距离，求该动点的轨迹方程。解：设在给定的坐标系下，动点，所求的轨迹为，则亦即由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为5、在空间，选取适当的坐标系，
2、求下列点的轨迹方程：（1）到两定点距离之比为常数的点的轨迹；（2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹；（3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹；（4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。解：（1）取二定点的连线为轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的常数为，二定点的距离为，则二定点的坐标为，设动点，所求的轨迹为，则亦即经同解变形得：上式即为所要求的动点的轨迹方程。（2）建立坐标系如（1），但设两定点的距离为，距离之和常数为。设动点，要求的轨迹为，则亦即两边平方且整理后，得：（1）从而（1）为即：由于上述过程为同解变形，所以（3）即为所求的轨迹方程。（3）建立如（2）的
3、坐标系，设动点，所求的轨迹为，则类似于（2），上式经同解变形为：其中（*）（*）即为所求的轨迹的方程。（4）取定平面为面，并让定点在轴上，从而定点的坐标为，再令距离之比为。设动点，所求的轨迹为，则将上述方程经同解化简为：（*）（*）即为所要求的轨迹方程。6、求下列各球面的方程：（1）中心，半径为；（2）中心在原点，且经过点；（3）一条直径的两端点是（4）通过原点与解：（1）由本节例5知，所求的球面方程为：（2）由已知，球面半径所以类似上题，得球面方程为（3）由已知，球面的球心坐标，球的半径，所以球面方程为：（4）设所求的球面方程为：因该球面经过点，所以（1）解（1）有所求的球面方程为7、试求中
4、心在，半径为的球面的参数方程.解:设球面上的任意一点为,则有:又,所以所求球面参数方程为:8、平面与的公共点组成怎样的轨迹。解：上述二图形的公共点的坐标满足从而：（Ⅰ）当时，公共点的轨迹为：及即为两条平行轴的直线；（Ⅱ）当时，公共点的轨迹为：即为轴；（Ⅲ）当时，公共点的轨迹为：即过且平行于轴的直线；（Ⅳ）当或时，两图形无公共点。9、指出下列曲面与三个坐标面的交线分别是什么曲线？（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）曲面与面的交线为：此曲线是圆心在原点，半径且处在面上的圆。同理可求出曲面与面及面的交线分别为：，它们分别是中心在原点，长轴在轴上，且处在面上的椭圆，以及中心在原点，长轴在轴上，且处
5、在面上的椭圆；（2）由面与面，面，面的交线分别为：,,亦即：,,即为中心在原点，长轴在轴上，且处在面上的椭圆；中心在原点，实轴在轴，且处在面上的双曲线，以及中心在原点，实轴在轴，且处在面上的双曲线。（3）曲面与面，面，面的交线分别为：,,亦即,,即为中心在原点，实轴在轴，且处在面上的双曲线；无轨迹以及中心在原点，实轴在轴上，且处在面上的双曲线。（4）曲面与面，面，面的交线分别为：,,亦即,,即为坐标原点，顶点在原点以轴为对称轴，且处在面上的抛物线，以及顶点在原点，以轴为对称轴，且处在面上的抛物线。10.求曲线与曲面的交点.解:代入,得,.11.有一质点,沿着已知圆锥面的一条直母线自圆锥的顶点起
6、,作等速直线运动,另一方面这一条母线在圆锥面上,过圆锥的顶点绕圆锥的轴(旋转轴)作等速的转动,这质点在圆锥面上上的轨迹叫做圆锥螺线,试建立圆锥螺线的方程.解:取圆锥顶点为原点,轴线为Z轴建立空间直角坐标系,并设圆锥角为,如图,旋转角速度为,直线速度为,动点的初始位置在原点,动点经过时刻到达点.点在坐标轴上的射影为,在坐标面上的射影为P,则P在x轴上的射影为Q,则==.写成坐标式参数方程即有:12.有两条互相直交的直线与,其中绕作螺旋动,即一方面绕作等速转动,另一方面又沿着作等速直线运动,在运动过程中永远保持与直线直交,这样由所画出的曲面叫螺旋面,试建立螺旋面的方程.解:如图建立空间直角坐标系,
7、使为轴,在运动中的某一时刻与轴重合;并设作等速转动的角速度为,等速直线运动的速度为,且经过时间动点离轴的距离为.又为在面上的射影,为在轴上的射影,则:=,写成坐标式参数方程即:
